時系列分析2 定常性、ARMA・ARIMAモデル

Aidemy　2020/10/29
#はじめに
　こんにちは、んがょぺです！バリバリの文系ですが、AIの可能性に興味を持ったのがきっかけで、AI特化型スクール「Aidemy」に通い、勉強しています。ここで得られた知識を皆さんと共有したいと思い、Qiitaでまとめています。以前のまとめ記事も多くの方に読んでいただけてとても嬉しいです。ありがとうございます！
　今回は、時系列分析の2つ目の投稿になります。どうぞよろしくお願いします。

＊本記事は「Aidemy」での学習内容を「自分の言葉で」まとめたものになります。表現の間違いや勘違いを含む可能性があります。ご了承ください。

今回学ぶこと
・定常性について
・ARMA・ARIMAモデルについて

#定常性
##定常性とは
・時系列データにおいて、__「時間経過に依らず常に一定の値を軸に、同程度の幅で揺れて変化する」__ものを__定常性がある__と表現する。
・定常性があるかどうかは、データを一回__可視化__し、上記特徴を有しているかを目視で確認する必要がある。
・時系列分析においては、定常性のない時系列をそのまま扱うと無意味な相関（擬似相関）を検出してしまう恐れがあるため、定常性のある時系列に変換する必要がある。

##弱定常性/強定常性
・__弱定常性__とは、時系列データの__期待値と自己共分散が常に一定である__ことを指す。
・期待値が一定であることから「常に一定の値が軸に」なっているといえ、自己共分散が一定である事から「同程度の幅で揺れて変化する」と言えるので、定常性がある状態だと言える。

##ホワイトノイズ
・__ホワイトノイズ__とは、__全ての時点で期待値が0で、分散が一定で、共分散が0である__こと（弱定常性）を表す。
・時系列モデルのパターンのうち、__不規則変動（誤差）__は数学的に表すのが難しいため、ホワイトノイズを用いて対応することになっている。

#ARMA/ARIMA/SARIMAモデル
##ARMA/ARIMA/SARIMAモデルについて
・__ARMA(アーマ)/ARIMA(アリマ)モデル__は時系列分析を行う際に使われるモデルである。
・この二種類の発展型に__SARIMA(サリマ)と言うモデルも存在し、最終的にはSARIMAモデルで時系列分析を行う。
・ARMA/ARIMAモデルは「AR」「MA」__と言うモデルが組み合わされたモデルである。次項以降で詳しく説明する。
＊これらのモデルを実際に構築するのは「時系列分析4」になるので、そちらを参照のこと。

##ARモデル
・ARモデルでは、ある時点kの時系列データ「yk」を、その一つ前の時点のデータ「yk-1」を使って表す__ことで自己相関が作られる。
・このように過去の値から回帰的にデータの値を推定するので、ARモデルは「自己回帰モデル」__とも言われる。またこの時、過去のp個のデータを使って次のデータを予測する時,__AR(p)__と表す。

##MAモデル
・MAモデルでは、__ある時点kの時系列データのうちホワイトノイズ「εk」をひとつ前のホワイトノイズ「εk-1」を使って表す__ことで自己相関が作られる。
・ホワイトノイズは不規則変動（誤差）を示すので、MAモデルは__過去の誤差に影響されるモデルである__と言える。またこの時、過去のq個の誤差を使って次のデータを予測する時、__MA(q)__と表す。

##ARMAモデル
・先述の通り、ARMAモデルはARモデルとMAモデルを組み合わせてできたモデルである。
・AR(p)とMA(q)を組み合わせたときは__ARMA(p,q)__と表現される。

##ARIMAモデル
・ARIMAモデルとは、「原系列で渡されたデータを階差系列に変換するARMAモデル」のことである。
・原系列が渡されるARMAモデルは定常性のあるデータや過程でしか扱うことができないが、階差系列に変換するARIMAモデルでは定常性のないデータや過程も扱うことができる。

・モデルがARMA(p,q)で、変換するときの階差がd（差分を取るのがd時点前）であるときは__ARIMA(p,d,q)と表す。
・このときの「p」を__自己相関度、「d」を__誘導__、「q」を__移動平均__と言う。

#まとめ
・定常性のうち弱定常性は、時系列データの__期待値と自己共分散が常に一定である__ことを指す。
・__ホワイトノイズ__とは、__全ての時点で期待値が0で、分散が一定で、共分散が0である__ことを表す。
・時系列分析を行う際に使われるモデルとして、ARMAモデルとARIMAモデルがある。これらのモデルはARモデルとMAモデルが組み合わされてできたものであり、ARIMAモデルの方ではデータが階差系列に変換されるので、定常性のないデータも扱うことができる。

今回は以上です。最後まで読んでいただき、ありがとうございました。