ありふれたネタで新規性もないですが、ESXi 6.5でもできるますよということで手順まとめ。

#前提

ESXi 6.5 GA(build-4564106)
ESXiにはrootユーザでログインする
ESXiのSSHは有効化済み

#鍵の生成

TeraTermのウィンドウを開く
新しい接続はしないでキャンセル
[設定] - [SSH鍵生成] をクリック
開いたTTSSH:鍵生成ウィンドウの[生成]をクリック
(鍵の種類とビット数ははデフォルトのRSAと2048ビットでOK)
[鍵のパスフレーズ]と[パスフレーズの確認]を入力
[公開鍵の保存]をクリックして、任意のディレクトリに公開鍵を保存
[秘密鍵の保存]をクリックして、任意のディレクトリに秘密鍵を保存

#公開鍵/秘密鍵でログイン

TeraTermで鍵を配置するESXiにSSHでログイン
TeraTermメニューの[ファイル]-[SSH SCP]をクリック
開いたTTSSH:SecureFileCopyウィンドウの画面上部に以下の通り入力
From：生成した公開鍵の古パス
To　：/etc/ssh/keys-root/authorized_keys
ESXiからSSHを一度ログアウト
再度TeraTermを開き、[RSA/DSA/ECDSA/ED25519鍵を使う]を選択して、
[秘密鍵]を指定しログインできることを確認。
(ユーザー名はroot、パスフレーズは秘密鍵生成時のもの)

#TeraTermマクロで自動ログイン

以下のようなマクロファイルを作成する。

;============================================ 
; Filename    : ssh_connect-esxi.ttl 
; Description : SSH Auto login 
; Author      : MyName
; Created     : 2016/12/28
; modified    : 
;============================================ 
;; ユーザ名／パスワード設定 
HOSTADDR = 'ESXiのIPアドレス' 
USERNAME = 'root'
PASSFILE = 'C:\work\ssh_key\password.dat' 
KEY_FILE = 'C:\work\ssh_key\id_rsa' 
;============================================ 
;; ①パスワード取得 
getpassword PASSFILE USERNAME PASSWORD
 
;; ②コマンド組立て 
COMMAND = HOSTADDR 
strconcat COMMAND ':22 /ssh /2 /auth=publickey /user=' 
strconcat COMMAND USERNAME 
strconcat COMMAND ' /passwd=' 
strconcat COMMAND PASSWORD 
strconcat COMMAND ' /keyfile=' 
strconcat COMMAND KEY_FILE
 
;; ③サーバへ接続 
connect COMMAND
 
;; ④マクロ終了 
end

作成した.ttlファイルはttpmacro.exeに関連付けて実行。

初回のみパスフレーズの入力を求められるが、以降はマクロを実行するだけでESXiにログインできるようになる。

#参考
Allowing SSH access to ESXi/ESX hosts with public/private key authentication
https://kb.vmware.com/kb/1002866

公開鍵認証によるSSH接続 - Tera Termの使い方
http://webkaru.net/linux/tera-term-ssh-login-public-key/

TeraTermマクロ－SSH公開鍵認証で自動ログイン
http://www.j-oosk.com/teraterm/authorized_keys/307/