はじめに
皆さんは普段，生活している時に引力ポテンシャルのもと，平面上を運動する１質点系について考えたくなったことありませんか。ありますよね。それを考えている中で，この運動の作用変数を求めようとすると少し難しい積分が出てきます。その積分について今回はまとめてみます。
ちょっと記事が重かったので分けました(2023/03/31追記)。
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運動の考察
まずは引力ポテンシャルのもと，平面上を運動する１質点系についてサクッと考えてみましょう。最初は中心力ポテンシャル$U(r)$のもと，平面上を運動する質点を考えます（後で引力ポテンシャルを考える）。この系のHamiltonianは
H(r, \theta ,p_r, p_{\theta })=\frac{1}{2m}(p_r^2+\frac{p_{\theta }^2}{r^2})+U(r)
です。文字は一般的なものを使います。さて，この系に対してのHamilton-Jacobi方程式は
\frac{1}{2m}[(\frac{\partial S}{\partial r})^2+\frac{1}{r^2}(\frac{\partial S}{\partial \theta})^2]+U(r)+\frac{\partial S}{\partial t}=0
となります。今はHamiltonianが時間に陽には依らない系で，特性関数を$W(r, \theta )$とおけば，これを決定する偏微分方程式は
\frac{1}{2m}[(\frac{\partial W}{\partial r})^2+\frac{1}{r^2}(\frac{\partial W}{\partial \theta})^2]+U(r)=E
となります。ここで$E(=\alpha_1)$は系のエネルギーです。ここで $W(r, \theta )=W_r(r)+W_{\theta }(\theta )$ のように変数分離して偏微分方程式を整理すれば
r^2[(\frac{d W_r}{d r})^2+2m(U(r)-E)]=-(\frac{dW_{\theta }}{d\theta })^2
となり，両辺は定数になるはずですので，これを$-\alpha _{\theta }^2$とおきます。これより
\begin{align}
W_{\theta }(\theta )&=\alpha _{\theta } \theta \\
W_r(r)&=\int dr \sqrt{2m(E-U(r))-\frac{\alpha _{\theta }^2}{r^2}}
\end{align}
を得ることになり，特性関数は
W(r, \theta, E, \alpha_{\theta})=W_r(r)+\alpha _{\theta } \theta
となります。
とりあえず今回は作用変数を求めたいだけなので，ここまでやれば大丈夫です。もちろんここから質点の軌道まで求めることができます。
作用変数を求める
それでは作用変数を求めます。以下，引力ポテンシャルを考えます。具体的には
U(r)=-\frac{k}{r} \quad (k>0)
とします。また，今は周期的な運動，つまり楕円運動の場合のみ考えたいので$E=\alpha_1<0$としておきます。
さて，$J_{\theta }$は
J_{\theta }=\oint \frac{\partial W_{\theta }}{\partial \theta } d\theta =\alpha _{\theta} \oint d\theta =2\pi \alpha _{\theta }
と求まります。次に$J_r$を求めます。まず位相空間$(r, p_r)$における位相空間軌跡は
p_r=\frac{\partial W_r}{\partial r }=\sqrt{2m(E-U(r))-\frac{\alpha _{\theta }^2}{r^2}}=\sqrt{2m\alpha_1 + \frac{2mk}{r}-\frac{\alpha_{\theta}^2}{r^2}}
で与えられる曲線です。また，ここで平方根の中に注目し，以下の二次方程式
r^2+\frac{k}{\alpha _1}r-\frac{\alpha_{\theta}^2}{2m\alpha_1}=0
の解を$r_+$と$r_-$で置いておきます$(0<r_-<r_+)$。さて，作用変数$J_r$は先の位相空間軌跡が描く曲線に囲まれた部分の面積であるので
J_r=\oint \frac{\partial W_r}{\partial r} dr = 2\sqrt{-2m\alpha_1}\int_{r_-}^{r_+}\frac{dr}{r}\sqrt{(r_+-r)(r-r_-) }
となります。
やっと今回扱う積分が出てきました。
参考文献
基幹講座物理学解析力学（益川敏英）