振り子に現れる特殊関数(4/5)

はじめに

続きの記事です。前回の記事はこちら↓↓↓
https://qiita.com/nefu_chem/items/3788f6512a19c9f5b3e3

振り子の運動

それでは最後に振り子の運動を解きます。つまり$\theta $を$t$の関数として表します。先ほどの計算と同じノリで考えて

t = \int_0^t dt = \int_0^{\theta} \frac{d\theta}{\omega_0 \sqrt{2(\cos \theta - \cos \theta_m)}}

となります。ここで$\phi $を$\sin \dfrac{\theta }{2} = \sin \dfrac{\theta_m }{2} \sin \phi $を満たすようにとると

t = \frac{1}{\omega _0} \int_0^{\phi } \frac{d\phi ^{\prime }}{\sqrt{1- k^2\sin^2 \phi ^{\prime }}}

となります。ここで出てきた積分($0<k<1$)

\begin{align}
F(\phi , k) &= \int_0^{\phi } \frac{d\phi ^{\prime }}{\sqrt{1- k^2\sin^2 \phi ^{\prime }}}\\
&= \int_0^{\sin \phi } \frac{du}{\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}}
\end{align}

を第一種楕円積分といいます。先の記事に出てきたのは$\phi = \dfrac{\pi }{2}$の第一種完全楕円積分であることに注意してください。
これで$t$を$\theta $で表せたので逆関数を考えましょう。楕円積分

y = \int_0^x \frac{du}{\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}} \quad (0<k<1)

の逆関数を

x=sn(y, k)

と書くことにしましょう。この関数はJacobiの楕円関数という特殊関数の一つです。これを用いれば

\sin \phi = sn(\omega_0t, k)

となります。$\sin \dfrac{\theta }{2} = k\sin \phi $だから最終的な解は

\theta = 2 \sin ^{-1} [k sn(\omega_0t, k)]

となりました。これで振り子の運動を解くことができました。
これで話を終わってもいいですが，最後のおまけとして前回からの計算をもう少し深くやってみることにします。