はじめに

条件付き確率にはベイズの定理という定理があります。一方、論理式(A→B)の確率にもベイズの定理と似た定理が成り立ちます。

両者の関係は、ちょうど方程式の和積を入替えになります。実際に見てみましょう。

ベイズの定理(復習)

まずは、条件つき確率の復習です。定義は下記の通りです。

 P(A \mid B) := \frac{P(A \land B)}{P(A)}

この時、ベイズの定理が成立します。

 P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)}

では、論理式(A→B)の確率はどう定義するべきでしょう。
例えば、下記は論理的に同値です。

 A \rightarrow B \equiv \lnot A \lor B

従って、下記の通り定義するのが自然でしょう。（ベン図を書いてみましょう）

 P(A \rightarrow B) := P(A \land B) + 1 -P( A \mid B)

このとき、ベイズの定理（もどき）が成立します。（計算は簡単なので省略）

 P(A \rightarrow B) = P(B \rightarrow A) + P( A ) - P(B)

両者を比較してみましょう。初めに、ベイズの定理を式変形します。

 P(A \mid B) =  P(B \mid A) \times P(A) \div P(B)

次に、ベイズの定理（もどき）を再掲します。

 P(A \rightarrow B) = P(B \rightarrow A) + P( A ) - P(B)

上記の通り、両方程式は、和積を入替えの関係になっています。

和積の変換の簡単な例として、指数関数があります。

e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}

「→」以外の論理演算についても、確率を定義します。すると、論理式の確率を具体的に計算できるようになります。例えば、、