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【PRML演習11.3】コーシー分布の不定積分の逆関数をtanを用いて表す

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TeX記法の練習がてら。


コーシー分布 (Cauthy distribution)

 ![equation](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cdisplaystyle%20p(y%29%3D%5Cfrac1%5Cpi%5Cfrac1%7B1%2By%5E2%7D)

(式 (11.8))の不定積分の逆関数をtanを用いて表したい。(PRML演習11.3)


11.3 (基本) 区間 (0, 1) 上で一様分布する確率変数 z が与えられたとき、y が (11.8) で与えられるコーシー分布を持つようにする変換 y=f(z) を求めよ。



![equation](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cdisplaystyle%20z%3Dh(y%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5Eyp(%5Chat%7By%7D%29d%5Chat%7By%7D)

 



 ![equation](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cdisplaystyle%3D%5Cfrac1%5Cpi(tan%5E%7B-1%7D(y%29-tan%5E%7B-1%7D(%7B-%5Cinfty%7D%29%29)

 ![equation](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cdisplaystyle%3D%5Cfrac1%5Cpi(tan%5E%7B-1%7D(y%29-(-%5Cfrac%5C12%5Cpi%29%29)

 ![equation](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cdisplaystyle%3D%5Cfrac1%5Cpi%20tan%5E%7B-1%7D(y%29%2B%5Cfrac12)

![equation](http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cdisplaystyle%20y%3Dh%5E%7B-1%7D(z%29%3Dtan(%5Cpi(z-%5Cfrac12%29%29)

z が区間 (0, 1) 上で一様分布する確率変数なら、yはCauthy分布に従う。

1;

%
% コーシー分布 Cauthy distribution のpdf
%
function p = CauthyDistributionPDF(y)
p = arrayfun(@(x) 1.0/(pi*(1+x^2)), y);
endfunction

%
% コーシー分布に従う乱数
%
function z = CauthyDistributionRand(x=1, y=x)
z = tan(pi*(rand(x,y)-1/2));
endfunction

x = linspace(-10, 10, 100);
plot(x, CauthyDistributionPDF(x))
pause

hist(CauthyDistributionRand(100,1), 100, "facecolor", "r", "edgecolor", "b")