Pythonを使って基本変形で逆行列を求める。

np.linalgを使わず逆行列を求めたい。

Pythonを用いて正則行列Aの逆行列を求めるには、numpyを用いてnp.linalg.inv(A)と入力すれば
あっという間に出てきます。

しかしここではあえてその方法を用いず、基本変形を用いて逆行列を求めてみたいと思います。

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まずは正則行列Aをひとつ定める。

例えば今回はAとして以下の様な行列をとることにします。

import numpy as np
A = np.array([[2.,1.,1.,1.],[3.,0.,-2.,1.],[0.,-1.,0.,-2.],[3.,1.,1.,1.]])

※行列の成分の数字を書くとき、3 などと書かずに3. のように書かないとその後の計算がうまくいきません。

因みに、以下の様に書くと軸の数が分かります。

A.ndim

次に単位行列を定義。

通常単位行列はEやIという記号を使って表しますが、ここではこの後この行列に色々操作を加えていくため、Xを使うことにします。

X = np.array([[1.,0.,0.,0.],[0.,1.,0.,0.],[0.,0.,1.,0.],[0.,0.,0.,1.]])

関数(写像)を定義。

では、正則行列Aをインプットするとその逆行列がアウトプットされる関数Inv(A)を実際に作っていきます。

import numpy as np

def Inv(A:list) -> list:
    X = np.array([[1.,0.,0.,0.],[0.,1.,0.,0.],[0.,0.,1.,0.],[0.,0.,0.,1.]])
    #まずAを上三角行列にする。
    for p in range(len(A)):
        pivot = A[p][p]
        for j in range(p+1, len(A)):
            coef = A[j][p] / pivot
            A[j] -= A[p] * coef
            X[j] -= X[p] * coef
    #途中経過確認。
    #print(A)
    #print(X)
    #対角成分を1にする。
    for i in range(len(A)):
        X[i] /= A[i][i]
        A[i] /= A[i][i]
    #途中経過確認。
    #print(A)
    #print(X)
    #答えを出す。
    for i in range(len(A)-1,0,-1):
        for j in range(i):
            X[j] -= X[i] * A[j][i]
            A[j][i] = 0
    return X

あとはこの関数にAを代入すれば完了です。

#逆行列を基本変形により求める。
A = np.array([[2.,1.,1.,1.],[3.,0.,-2.,1.],[0.,-1.,0.,-2.],[3.,1.,1.,1.]])
print(Inv(A))