多項式モデル

実験計画の多項式モデル（Polynomial Regression in Experimental Design）は、実験データの分析とモデリングに使用される統計的手法の一つ。

実験計画の多項式モデルは、次のような一般的な形式で表現される：

$$Y = β₀ + β₁X + β₂X² + β₃X³ + ... + βₖXᵏ + ε$$

ここで、Yは応答変数（実験結果）、Xは説明変数（操作条件や独立変数）、β₀、β₁、β₂、...、βₖはモデルの係数、kは多項式の次数、εは誤差項を表す。

実験計画の多項式モデルを使用する主な目的は、実験条件と応答変数の関係をより適切にモデル化し、その関係を数学的に表現することである。これにより、実験データから得られた情報をより良く理解し、将来の実験やプロセスの最適化に役立つ洞察を得ることができる。

主効果モデル

$$Y = β₀ + β₁X + β₂X_2 + β₃X_3 + ... + βₖX_k + ε$$

複合中心計画(中心複合計画)

応答曲面法の１つ。2次多項式を立てて、パラメータのベクトルを重回帰と同様にして求める。その後変数の列ベクトルと掛け合わせ分散を求めることにより予測分散が求まる。

応用曲面法のパラメータの推定は、重回帰分析における最小二乗法による推定と同じである。重回帰分析では観測データを扱うことが多く、応用曲面法では管理された実験データを扱う。

複合中心計画では、$x_i$の列ベクトルおよび$x_ix_j$の列ベクトルは互いに直交する。さらにこれらのベクトルは$x^2_i$の列ベクトルとも直交する。一方、$x^2_i$同士は直交しない。

D最適化

計画行列をXとするとき、det((X'X^{-1})を最小にする計画XをD最適計画と呼ぶ。これは、もっともモデル項の交絡が少ない効率的な計画である。
このことは分散共分散行列の成分ができるだけゼロに近いほど、交絡が少ない計画であるということから導かれる。
多項式モデルと、D最適化を組み合わせて使うこともある。