本記事は、E資格の受験資格の取得を目的としたラビットチャレンジを
受講した際の勉強記録およびレポート記事である。
#第2章：確率・統計_レポート
###条件付き確率
事象Bが起こったという条件の下で事象Aの起こる確率は、
$$ P(A|B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)} $$
###事象の独立
2つの事象$A,B$が独立であるための必要十分条件は,
$$ P(A∩B) = P(A)・P(B) $$
である。
よってこの場合、条件付き確率は、
$$ P(A|B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)}=\frac{P(A)・P(B)}{P(B)}=P(A) $$
となる。
###ベイズ則
$$ P(A∩B) = P(A)・P(B|A) =P(B)・P(A|B)$$
###期待値
事象$X$ = $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$
確率変数$f(X) = f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n)$
確率$p(X) = P(x_1), P(x_2), ..., P(x_n)$
とすると
期待値$E(f)$は
$$E(f) = \sum_{k=1}^nP(X=x_k)f(X=x_k)$$
となる。
また連続型確率変数$f(X)$の場合、期待値$E(f)$は
$$ E(f) = \int P(X=x)f(X=x)dx $$
となる。
###分散
イメージは、データの散らばり具合。
データの各々の値が、期待値からどれだけズレているのか平均したもの。
$$ Var(f) = E\Bigl(\bigl(f_{(X=x)}-E_{(f)}\bigl)^2\Bigl) = E\bigl(f^2_{(X=x)}\bigl)-\bigl(E_{(f)}\bigl)^2$$
###標準偏差
$$ \sigma = \sqrt{Var(f)} = \sqrt{E\bigl((f_{(X=x)}-E_{(f)})^2\bigl)} $$
###ベルヌーイ試行
コイン投げのように結果が2通りにしかならない確率実験のこと。
試行を繰り返したとき、どの試行においても結果が起こる確率は同じであり、各試行の結果は互いに独立である。
###様々な確率分布
ベルヌーイ分布
ベルヌーイ試行によって得られる確率分布。n = 1 の場合の二項分布に等しい。
$$ P(x|\mu) = \mu^x(1-\mu)^{1-x} $$
二項分布
ベルヌーイ分布の多試行版。
1回の試行に対して事象$A$が、起こる確率をλとする。さらに、n回の試行において$x$回だけ事象Aが起こる確率は
$$ P(x|\lambda,n) = \frac{n!}{x!(n-x)!}\lambda^x(1-\lambda)^{n-x} $$
となる。上記式で表される確率分布を二項分布という。
ガウス分布
$μ$を平均値、を$σ$標準偏差とすると、ガウス分布の確率分布は以下の式で表される。
$$ N(x;\mu,\sigma^2) = \sqrt\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\bigl(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\bigl) $$