詳細については後ほど記載していく。
先に結論のみ。

iOS

１）スクリーンショット禁止処理を実装（UIViewやUIWindowのExtention）
２）AppDelegate.mや任意の処理で呼び出し
参考

extension UIWindow {
    func makeSecure() {
        let field = UITextField()
        field.isSecureTextEntry = true
        self.addSubview(field)
        field.centerYAnchor.constraint(equalTo: self.centerYAnchor).isActive = true
        field.centerXAnchor.constraint(equalTo: self.centerXAnchor).isActive = true
        self.layer.superlayer?.addSublayer(field.layer)
        field.layer.sublayers?.first?.addSublayer(self.layer)
    }
}

Android

１）MainActivityなどで以下処理を追記

getWindow().setFlags(WindowManager.LayoutParams.FLAG_SECURE, WindowManager.LayoutParams.FLAG_SECURE);

２）解除したい場合は以下を呼び出す処理をReactNativeから呼び出せるようにすれば良い。

getWindow().clearFlags(WindowManager.LayoutParams.FLAG_SECURE);

参考

参考にした記事一覧

--【iOS】---------------
・サンプルPJ
https://github.dev/mittsu333/SecureScreen
・Swiftで定義したExtensionをObjective-Cで利用（Objective-C）
https://komaji504.hateblo.jp/entry/2016/07/18/213933
　→上記をObjective-Cで書き直すには
　https://komaji504.hateblo.jp/entry/2016/07/18/213933
・Objective-Cでメソッドを呼出(Objective-C）
https://qiita.com/Pinehead/items/a9476dcac6e39f33c282
・AppDelegateで関数呼出(Flutter Objective-C）
https://stackoverflow.com/questions/52317217/flutter-disable-screenshot-capture-for-app
・スクリーンショット禁止処理（Swift Extension）
https://stackoverflow.com/questions/18680028/prevent-screen-capture-in-an-ios-app

--【Android】---------------
https://qiita.com/tkhs0604/items/47bfa0f2b83b79c365e4
https://stackoverflow.com/questions/28606689/how-to-prevent-screen-capture-in-android
https://stackoverflow.com/questions/6764568/prevent-screen-capture-in-android-apps

--【Swift】---------------
https://github.dev/lizhming/ScreenCaptureSecure/