~~※ 完全に解決してないです~~ →解決したと思われる（追記2）

環境：Vagrant 1.8.5 + VirtualBox 5.1.4 + CentOS 6.8

SSH のエラーということで鍵まわりを探っていたのですが、特に問題なさそうな雰囲気 ……

仮説：sudo しなきゃいけないところがあったのが問題？
対処： synced_folder を /var/www/project_name に設定していたのですが、 /var/www が存在しなかった。

そこで、 vagrant ssh して VirtualBox 内で

sudo mkdir -p /var/www/project_name
sudo chown -R vagrant /var/www
sudo chmod +x /var/www
exit

してみたあと、 vargant reload --provision で、動作している様子だった。

ただし、上記の対処が良くて動作したのかどうかの確証はないです ……

追記1

そこで、 vagrant ssh して VirtualBox 内で以下を行った。

sudo chown vagrant ~/.ssh/authorized_keys
sudo chmod 0600 ~/.ssh/authorized_keys
exit

動いた！

※ synced_folder を作る作業と鍵のパーミッションを変更する作業の両方が必要なのかをまだ試してないです。

追記2

やはり、 Vagrant1.8.5 のバグ（？）が原因だった様子。
以下の手順で動作しそう。

$ vagrant up
default: Warning: Authentication failure. Retrying...
default: Warning: Authentication failure. Retrying...

上記の状態になったら、 Ctr+c で抜ける。

vagrant ssh （パスワードは vagrant）

VirtualBox 内で以下を行う。

chmod 0600 ~/.ssh/authorized_keys
exit

vagrant reload

以下を参考に Vagrant へ修正を入れておいたほうが良さそうです。