プロパティ :typeable="true" を設定することで解決する。
ただし、ユーザーによる自由入力が可能となってしまう為、適宜入力制御処理を実装する。

例

<!DOCTYPE html>
<html lang="ja">
<head>
    <meta charset="UTF-8">
    <title>Sample</title>
    <link rel="stylesheet" href="https://stackpath.bootstrapcdn.com/bootstrap/4.3.1/css/bootstrap.min.css"
          integrity="sha384-ggOyR0iXCbMQv3Xipma34MD+dH/1fQ784/j6cY/iJTQUOhcWr7x9JvoRxT2MZw1T"
          crossorigin="anonymous">
</head>
<body>
<div class="container">
    <div id="app">
        <form>
            <label>date</label>
            <vuejs-datepicker
                    :format="DatePickerFormat"
                    :typeable="true"
                    wrapper-class="form-group"
                    :input-class="{'form-control': !errors.has('inputDate'), 'form-control is-invalid': errors.has('inputDate')}"
                    name="inputDate"
                    v-model="inputDate"
                    v-validate="'required'"
            ></vuejs-datepicker>
            <small class="form-text text-danger" v-show="errors.has('inputDate')">
                {{ errors.first('inputDate') }}
            </small>
        </form>
    </div>
</div>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/vue@2.6.0"></script>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/vuejs-datepicker@1.6.2/dist/vuejs-datepicker.min.js"></script>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/vee-validate@2.1.0-beta.9/dist/vee-validate.js"></script>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/vee-validate@2.1.0-beta.9/dist/locale/ja.js"></script>
<script>
    Vue.use(VeeValidate, {
        events: 'input|blur',
    });
    new Vue({
        el: '#app',
        data: function () {
            return this.initialState()
        },
        components: {
            vuejsDatepicker
        },
        methods: {
            initialState: function () {
                return {
                    inputDate: '',
                    DatePickerFormat: 'yyyy-MM-dd',
                }
            }
        }
    });
</script>
</body>
</html>

VeeValidate の blur が vuejs-datepicker で機能しない

例