はじめに
今回は不参加です.
問題 2.13
$ (B_{t}, \mathbf{P}_{x}) $ を2次元ブラウン運動とし
D_{\rho } := \{ x\in \mathbb{R}^{2} \mid \|x \| < \rho \}, \quad \rho >0
とおく.
\mathbf{P}_{0}(B_{t}\in D_{\rho })
を求めよ.
証明
ガウス積分の計算するだけです. ブラウン運動の確率密度関数を $p_{t}(x,y)$ とすると
\begin{aligned}
\mathbf{P}_{0}(B_{t}\in D_{\rho })
&= \int_{D_{\rho }}p_{t}(0,z)\, \mathrm{d}z \\
&= \int_{D_{\rho }}\frac{1}{2\pi t} \exp\left(-\frac{z^{2}}{2t}\right)\, \mathrm{d}z \\
&= \int_{0}^{2\pi } \int_{0}^{\rho }\frac{r}{2\pi t} \exp\left(-\frac{r^{2}}{2t}\right)\, \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \quad \mathrm{(極座標変換)} \\
&= 1 - \exp\left(-\frac{\rho ^{2}}{2t}\right) .
\end{aligned}
補足
下記間違ってるので修正します
上記から, 任意の $\rho >0$ に対して
\lim_{t \to \infty}\mathbf{P}_{0}(B_{t}\in D_{\rho})=0
が従います. この性質を過渡性（transience）といいます. 確率1で時刻無限大において無限遠点へ発散することを表します. 逆に,
\lim_{t \to \infty}\mathbf{P}_{0}(B_{t}\in D_{\rho})=1
となる性質のことを再帰性（recurrence）といいます. 確率1で時刻無限大において有限領域に何回も戻り続けることを表します.
$d$次元ブラウン運動に対して, $d<3$のとき過渡的, $d\geq 3$のとき再帰的であることが知られています.