tanとarctanが取りうる値の差異によるミス

悩んだこと　

タンジェント（以降tan）の逆関数にアークタンジェント（以降arctan）がある
逆関数の定義から以下が成り立つと考えていた

import math
theta = math.pi / 4
theta == math.atan(math.tan(theta)) # True

実際に上スクリプトの3行目はTrueになる
しかし、以下の場合は3行目はFalseとなる

import math
theta = (math.pi * 3) / 4
theta == math.atan(math.tan(theta)) # False

これでしばらく悩んでいた

原因

原因を説明するためtanおよびarctanのグラフを以下に描く
なおスクリプトを短くするためにmath.tanおよびmath.atanの代わりにnumpy.tanとnumpy.arctanを使用する

tanのグラフ

tanのグラフは次のようになる

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi

x = np.arange(-2*pi, 2*pi, 0.1)
y = np.tan(x)

plt.xlim(-2*pi, 2*pi)
plt.ylim(-4, 4)

plt.xticks([-2*pi,-pi,0,pi,2*pi],["-2pi","-pi","0","pi","2pi"])
plt.yticks([-4,-2,0,2,4],["-4","-2","0","2","4"])

plt.grid(True)
plt.scatter(x, y, s=5)
plt.show()

arctanのグラフ

続いてarctanのグラフを描く

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt 
from math import pi

x = np.arange(-10, 10, 0.1)                                                                                                                                                                                                                                                                                       
y = np.arctan(x)

plt.xlim(-4, 4) 
plt.ylim(-2*pi, 2*pi)

plt.xticks([-4,-2,0,2,4],["-4","-2","0","2","4"])
plt.yticks([-2*pi,-pi,0,pi,2*pi],["-2pi","-pi","0","pi","2pi"])

plt.grid(True)
plt.scatter(x, y, s=5)
plt.show()

比較

tanとarctanのグラフを比較する
tanのグラフは逆S字状の曲線が繰り返し描画されている
対してarctanのグラフは一つのS字状の曲線が描画されている
そしてarctanが取りうる値は $-\pi/2$ から $\pi/2$ の範囲に限定されることがわかる
その条件を無視して $(3\pi)/4$ $(>\pi/2)$ の値をarctanが出力することを期待してしまったのが私の間違いだった

得たこと

値が取りうる範囲を意識する必要があることを学んだ