ホスティングとは

ホスティングとは、サービス事業者がデータセンター内で運用保守するサーバの一部、または全領域を、インターネット経由でレンタルすることです。

ホスティングサービスをマンションに例えると各部屋をそれぞれサーバーとして貸し出すような感じです。

イメージとして、大きなスペースの内の一部を借りることをホスティングといい、そのようなサービスをホスティングサービスというようです。

例えば、Githubもホスティングサービスに入っているようですが、Githubの場合、リポジトリをホスティングしてGithub上で公開したり色々操作したりできるわけです。
（Githubは、Webサービスであり、ホスティングサービスでもありですね。）

まとめ

ホスティングとは、サーバーを借りることです。（借りたサーバーに何らかのサービスを立てます。）

イメージとして大きなスペースのうちの一部を借りることをホスティングといい、このようなサービスをホスティングサービスといいます。