スカラーとベクトル
- スカラー
- 通常の(単独の)数
- ベクトル
- 大きさと向きを持つ
ベクトルは 大きさ と 向き を持つため、スカラーの組として表現される。例えば大きさが1、向きがx軸から-45度のベクトルc、および大きさ1、向きがx軸から+60度のベクトルdは次のように表される。
\vec{c} =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{pmatrix} \\
\vec{d} =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}
行列
- スカラーを表形式に並べたもの
- ベクトルを並べたもの、ベクトルのベクトルと考えることもできる
例えば上記のベクトルcとベクトルdを並べた行列Cは下記のように表される。
\boldsymbol{C} =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}
転置行列
m 行 n 列の行列 A に対して A の (i, j) 要素と (j, i) 要素を入れ替えた n 行 m 列の行列、つまり対角線で成分を折り返した行列を転置行列と呼ぶ。行列Aを例にすると、2行1列と1行2列の要素を入れ替えたものとなる。1行1列と2行2列の要素はi=jのため入れ替える必要がない。Cの転置行列Dは下記となる。
\boldsymbol{D} =
\boldsymbol{C^T} =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}
行列の積
行列Aとスカラー λ の積は下記となる。
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix} \lambda = \lambda
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\lambda a_{11} & \lambda a_{12} \\
\lambda a_{21} & \lambda a_{22}
\end{pmatrix}
行列同士の積の例として、2行2列の行列同士の計算を下記に表す。
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}
\end{pmatrix}
このため行列同士の積では交換法則が成立しないことがある。
\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}
ただし分配、結合法則は成立する。
(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\boldsymbol{C} =
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C}) \\
(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \boldsymbol{C} =
\boldsymbol{A}\boldsymbol{C} + \boldsymbol{B}\boldsymbol{C}
逆行列
行列はその対角成分に1が並び、他は全て0となる行列を単位行列(I)という。
a_{ij} = \left\{
\begin{array}{}
1 & (i = j) \\
0 & (i \neq j)
\end{array}
\right. \\
\boldsymbol{I} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
下記が成り立つとき、BをAの逆行列と呼ぶ。
\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} =
\boldsymbol{I} =
\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{A^{-1}} = \boldsymbol{B}
連立n次方程式と行列
行列式を使うと連立n次方程式を簡潔に表現できる。例えば下記の連立2次方程式を考える。
\frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y = 1 \\
\frac{1}{2}x + \frac{1}{\sqrt{3}}y = 2
ベクトルx、ベクトルbを下記とする。
\vec{x} =
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} \\
\vec{b} =
\begin{pmatrix}
1 \\ 2
\end{pmatrix}
すると上記の連立方程式は下記のように表される。ただし行列Dは上記で求めた行列Cの転置行列とする。
\boldsymbol{D}\vec{x} = \vec{b}
さらに解xは下記のように表される。
\vec{x} = \boldsymbol{D^{-1}}\vec{b}