下記ドキュメントを見れば一目瞭然ですが、customHeaderがoptionで指定できるようになっています。
https://github.com/brenden/node-webshot#options
const options = {
screenSize: {
width: 720,
height: 360
},
shotSize: {
width: 720,
height: "all"
},
customHeaders: {
Authorization: "Basic base64encodedstring"
}
};
webshot(url, outputFile, options, (err) => {
// 省略
}