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@muripo_lifein株式会社RICOS (RICOS Co. Ltd.)

GLSLレイマーチング研究_距離関数について勉強してみた17(Capped Coneの関数をいじる)

Last updated at Posted at 2017-04-09

modeling with distance functionsの距離関数の一覧に沿って記事を書いています.

まず、今回初めて使う数学の関数の意味

sign
シグナムと読む（大学時代は、シグナムと呼んでいた）。
* xが0.0より小さい場合は-1.0
* 0.0が0.0の場合は0.0
* xが0.0より大きい場合は+1.0
を返す関数.

たぶん、こんな感じの定義

float sign(float x){
    if(x>0.0){
        return 1.0;
    } else if(x=0.0){
        return 0.0;
    }
    return -1.0;
}

Capped Coneの距離関数

float sdCappedCone( in vec3 p, in vec3 c )
{
    vec2 q = vec2( length(p.xz), p.y );
    vec2 v = vec2( c.z*c.y/c.x, -c.z );
    vec2 w = v - q;
    vec2 vv = vec2( dot(v,v), v.x*v.x );
    vec2 qv = vec2( dot(v,w), v.x*w.x );
    vec2 d = max(qv,0.0)*qv/vv;
    return sqrt( dot(w,w) - max(d.x,d.y) ) * sign(max(q.y*v.x-q.x*v.y,w.y));
}

ここで、 vec3 c は、 vec3 c = vec3(【頂点の角度】, 【底面の半径】, 【高さ】); で定義されている。

距離関数から元の数式を出してみる

注釈:数式だと計算の時に掛け算と勘違いするので、vvはt、qvはs、と表記\\
c=(\theta, r, h)\\
q=(\sqrt{x^2+z^2}, y)\\
v=(\frac{rh}{\theta}, -h)\\
w=v-q=(\frac{rh}{\theta}-\sqrt{x^2+z^2}, -h-y)\\
t=(|v|^2,|\frac{rh}{\theta}|^2)=(\frac{r^2h^2}{\theta^2}+h^2, \frac{r^2h^2}{\theta^2})\\
s=(v \cdot w, \frac{rh}{\theta}\cdot(-h-y))=(\frac{r^2h^2}{\theta^2}+h^2-\sqrt{x^2+z^2}\frac{rh}{\theta}+hy, -\frac{r}{\theta}h^2-\frac{rhy}{\theta})\\
\begin{align}
d&=(\max(\frac{r^2h^2}{\theta^2}+h^2-\sqrt{x^2+z^2}\frac{rh}{\theta}+hy,0),\max(-\frac{r}{\theta}h^2-\frac{rhy}{\theta},0))
\left(
 \begin{array}{cc}
  1+\frac{-\sqrt{x^2+z^2}\frac{rh}{\theta}+hy}{\frac{r^2h^2}{\theta^2}+h^2} & 0 \\
  0 & -\frac{h+y}{\frac{rh}{\theta}} \\
 \end{array}
\right)\\
&=(\max(\frac{r^2h^2}{\theta^2}+h^2-\sqrt{x^2+z^2}\frac{rh}{\theta}+hy,0)(1+\frac{-\sqrt{x^2+z^2}\frac{rh}{\theta}+hy}{\frac{r^2h^2}{\theta^2}+h^2}),-\max(-\frac{r}{\theta}h^2-\frac{rhy}{\theta},0)\frac{h+y}{\frac{rh}{\theta}})
\end{align}\\
で、距離関数を出すと\\
\sqrt{\frac{r^2h^2}{\theta^2}(x^2+z^2)+(h+y)^2-\max(\max(\frac{r^2h^2}{\theta^2}-\frac{rh}{\theta}\sqrt{x^2+z^2}+h^2+ry,0)(1+\frac{-\sqrt{x^2+z^2}\frac{rh}{\theta}+hy}{\frac{r^2h^2}{\theta^2}+h^2}),-\max(-\frac{r}{\theta}h^2-\frac{rhy}{\theta},0)\frac{h+y}{\frac{rh}{\theta}},0))}\\
+sign(\max(y\frac{rh}{\theta}+\sqrt{x^2+z^2}h, -h-y))\\
となります。

なげー

今回は、実装で生で数式かける気がしないので、いじっていくだけにします。

sign(max(q.y*v.x-q.x*v.y,w.y))って何よ?

-1,0,1を返すならcos(time)でも置き換えられんじぇね？

少し面白いアニメーションになりました。

return sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y))*cos(time);

motion01.gif

それぞれの途中式をいじる.

    vec3 c = vec3(1.0, 1.0, 1.0);
//  p = mat3(cos(time),0,-sin(time), 0,1,0, sin(time),0,cos(time))*p;
//  p = mat3(1,0,0, 0,cos(time),-sin(time), 0,sin(time),cos(time))*p;

    vec2 q  = vec2(length(p.xz), p.y);
//  vec2 q  = vec2(length(p.xz), p.y)*cos(time);
//      vec2 q  = vec2(length(p.xz)*cos(time), p.y);
//      vec2 q  = vec2(length(p.xz), p.y*cos(time));

    vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z);
//  vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z)*cos(time);
//  vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x*cos(time), -c.z);
//  vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z*cos(time));


    vec2 w  = v - q;
//  vec2 w  = (v - q)*cos(time);

    vec2 vv = vec2(dot(v,v), v.x*v.x);
//  vec2 vv = vec2(dot(v,v), v.x*v.x)*cos(time);
//  vec2 vv = vec2(dot(v,v)*cos(time), v.x*v.x);
//  vec2 vv = vec2(dot(v,v), v.x*v.x*cos(time));

    vec2 qv = vec2(dot(v,w), v.x*w.x);
//  vec2 qv = vec2(dot(v,w), v.x*w.x)*cos(time);
//  vec2 qv = vec2(dot(v,w)*cos(time), v.x*w.x);
//  vec2 qv = vec2(dot(v,w), v.x*w.x*cos(time));

    vec2 d  = max(qv,0.0)*qv/vv;
//  vec2 d  = max(qv,0.0)*qv/vv*cos(time);
//  vec2 d  = max(qv*cos(time),0.0)*qv/vv;
//  vec2 d  = max(qv,sin(time))*qv/vv;

    return sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y)) * sign(max(q.y*v.x-q.x*v.y,w.y));

やっぱり数式に直していじるべき？

そこで、


/*できるだけ数式に直したもの*/
float sdMathCappedCone(in vec3 p)
{
    vec3 c = vec3(1.0, 1.0, 1.0);
    vec2 q  = vec2(sqrt(p.x*p.x+p.z*p.z), p.y);
    vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z);
    vec2 w  = vec2(c.z*c.y/c.x-sqrt(p.x*p.x+p.z*p.z), -c.z-p.y);
    vec2 vv = vec2(dot(v,v), v.x*v.x);
    vec2 qv = vec2(dot(v,w), v.x*w.x);
    vec2 d  = max(qv,0.0)*qv/vv;
    return sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y)) * sign(max(q.y*v.x-q.x*v.y,w.y));
}

ま～式を書きやすい所だ直してみる。


float sdPlayMathCappedCone(in vec3 p)
{
    vec3 c = vec3(1.0, 1.0, 1.0);
    vec2 q  = vec2(sqrt(p.x*p.x+p.z*p.z), p.y);
//  vec2 q  = vec2(sqrt(p.x*p.x+(p.z*p.z)*cos(time)), p.y);
//  vec2 q  = vec2(sqrt(p.x*p.x*cos(time)+(p.z*p.z)), p.y);
//  vec2 q  = vec2(sqrt(p.x*p.x+p.y*p.y*cos(time)+(p.z*p.z)), p.y);
//  vec2 q  = vec2(sqrt(p.x*p.x+p.z*p.z), p.y*p.y*cos(time));   

    vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z);
//  vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z+(c.z*c.y/c.x)*cos(time));

    vec2 w  = vec2(c.z*c.y/c.x-sqrt(p.x*p.x+p.z*p.z), -c.z-p.y);
//  vec2 w  = vec2(c.z*c.y/c.x-sqrt(p.x*p.x+p.y*p.y*cos(time)+p.z*p.z), -c.z-p.y);

    vec2 vv = vec2(dot(v,v), v.x*v.x);
    vec2 qv = vec2(dot(v,w), v.x*w.x);
    vec2 d  = max(qv,0.0)*qv/vv;
    return sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y)) * sign(max(q.y*v.x-q.x*v.y,w.y));
}

qに変化を加えたとき

vec2 q  = vec2(sqrt(p.x*p.x*cos(time)+(p.z*p.z)), p.y);

motion02.gif

vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z+(c.z*c.y/c.x)*cos(time));

motion03.gif

コード

// ============================================================================
// Capped Cone
// ============================================================================

precision mediump float;
uniform vec2 resolution;     // resolution (512.0, 512.0)
uniform vec2 mouse;          // mouse(-1.0 ~ 1.0)
uniform float time;          // time(1second == 1.0)
uniform sampler2D prevScene; // previous scene texture

float sdCappedCone(in vec3 p)
{
    vec3 c = vec3(1.0, 1.0, 1.0);
    vec2 q  = vec2(length(p.xz), p.y);
    vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z);
    vec2 w  = v - q;
    vec2 vv = vec2(dot(v,v), v.x*v.x);
    vec2 qv = vec2(dot(v,w), v.x*w.x);
    vec2 d  = max(qv,0.0)*qv/vv;
    return sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y)) * sign(max(q.y*v.x-q.x*v.y,w.y));
}

/*できるだけ数式に直したもの*/
float sdMathCappedCone(in vec3 p)
{
    vec3 c = vec3(1.0, 1.0, 1.0);
    vec2 q  = vec2(sqrt(p.x*p.x+p.z*p.z), p.y);
    vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z);
    vec2 w  = vec2(c.z*c.y/c.x-sqrt(p.x*p.x+p.z*p.z), -c.z-p.y);
    vec2 vv = vec2(dot(v,v), v.x*v.x);
    vec2 qv = vec2(dot(v,w), v.x*w.x);
    vec2 d  = max(qv,0.0)*qv/vv;
    return sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y)) * sign(max(q.y*v.x-q.x*v.y,w.y));
}

/*数式を変形したもの*/
float sdPlayMathCappedCone(in vec3 p)
{
    vec3 c = vec3(1.0, 1.0, 1.0);
    vec2 q  = vec2(sqrt(p.x*p.x+p.z*p.z), p.y);
//  vec2 q  = vec2(sqrt(p.x*p.x+(p.z*p.z)*cos(time)), p.y);
//  vec2 q  = vec2(sqrt(p.x*p.x*cos(time)+(p.z*p.z)), p.y);
//  vec2 q  = vec2(sqrt(p.x*p.x+p.y*p.y*cos(time)+(p.z*p.z)), p.y);
//  vec2 q  = vec2(sqrt(p.x*p.x+p.z*p.z), p.y*p.y*cos(time));   

    vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z);
//  vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z+(c.z*c.y/c.x)*cos(time));

    vec2 w  = vec2(c.z*c.y/c.x-sqrt(p.x*p.x+p.z*p.z), -c.z-p.y);
//  vec2 w  = vec2(c.z*c.y/c.x-sqrt(p.x*p.x+p.y*p.y*cos(time)+p.z*p.z), -c.z-p.y);

    vec2 vv = vec2(dot(v,v), v.x*v.x);
    vec2 qv = vec2(dot(v,w), v.x*w.x);
    vec2 d  = max(qv,0.0)*qv/vv;
    return sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y)) * sign(max(q.y*v.x-q.x*v.y,w.y));
}


float sdPlayCappedCone(in vec3 p)
{
    vec3 c = vec3(1.0, 1.0, 1.0);
    // p = mat3(cos(time),0,-sin(time), 0,1,0, sin(time),0,cos(time))*p;
    // p = mat3(1,0,0, 0,cos(time),-sin(time), 0,sin(time),cos(time))*p;

    vec2 q  = vec2(length(p.xz), p.y);
    // vec2 q  = vec2(length(p.xz), p.y)*cos(time);
    // vec2 q  = vec2(length(p.xz)*cos(time), p.y);
    // vec2 q  = vec2(length(p.xz), p.y*cos(time));

    vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z);
    // vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z)*cos(time);
    // vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x*cos(time), -c.z);
    // vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z*cos(time));


    vec2 w  = v - q;
    // vec2 w  = (v - q)*cos(time);

    vec2 vv = vec2(dot(v,v), v.x*v.x);
    // vec2 vv = vec2(dot(v,v), v.x*v.x)*cos(time);
    // vec2 vv = vec2(dot(v,v)*cos(time), v.x*v.x);
    // vec2 vv = vec2(dot(v,v), v.x*v.x*cos(time));

    vec2 qv = vec2(dot(v,w), v.x*w.x);
    // vec2 qv = vec2(dot(v,w), v.x*w.x)*cos(time);
    // vec2 qv = vec2(dot(v,w)*cos(time), v.x*w.x);
    // vec2 qv = vec2(dot(v,w), v.x*w.x*cos(time));

    vec2 d  = max(qv,0.0)*qv/vv;
    // vec2 d  = max(qv,0.0)*qv/vv*cos(time);
    // vec2 d  = max(qv*cos(time),0.0)*qv/vv;
    // vec2 d  = max(qv,sin(time))*qv/vv;

    return sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y)) * sign(max(q.y*v.x-q.x*v.y,w.y));
    // return -sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y));
    // return sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y)*sin(time)) * sign(max(q.y*v.x-q.x*v.y,w.y));
    // return sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y));
    // return sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y))*cos(time);
    // return sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y)) * sign(max(q.y*v.x-q.x*v.y,w.y)*cos(time));
}

// 割と面白いアニメーション
float sdAnimePlayCappedCone(in vec3 p)
{
    vec3 c = vec3(1.0, 1.0, 1.0);
    vec2 q  = vec2(length(p.xz), p.y);
    vec2 v  = vec2(c.z*c.y/c.x, -c.z);
    vec2 w  = v - q;
    vec2 vv = vec2(dot(v,v), v.x*v.x);
    vec2 qv = vec2(dot(v,w), v.x*w.x);
    vec2 d  = max(qv,sin(time))*qv/vv;
    return sqrt(dot(w,w) - max(d.x,d.y))*cos(time);
}

float distanceHub(vec3 p){
    return sdCappedCone(p);
//  return sdMathCappedCone(p);
//  return sdPlayMathCappedCone(p);
//  return sdPlayCappedCone(p);
    // return sdAnimePlayCappedCone(p);
}

// 法線
vec3 genNormal(vec3 p){
    float d = 0.001;
    // 法線を生成
    return normalize(vec3(
        distanceHub(p + vec3(   d, 0.0, 0.0)) - distanceHub(p + vec3( -d, 0.0, 0.0)),
        distanceHub(p + vec3(0.0,    d, 0.0)) - distanceHub(p + vec3(0.0,   -d, 0.0)),
        distanceHub(p + vec3(0.0, 0.0,   d)) - distanceHub(p + vec3(0.0, 0.0,   -d))
    ));
}

// 図形ごとに色をわける
vec3 doColor(vec3 p){
    float e = 0.001;
    if (sdCappedCone(p)<e){
        vec3 normal = genNormal(p);
        vec3 light   = normalize(vec3(1.0, 1.0, 1.0));
        float diff   = max(dot(normal, light), 0.1);
        return vec3(diff, diff, diff);
    }
//  if (sdMathCappedCone(p)<e){
//      vec3 normal = genNormal(p);
//      vec3 light   = normalize(vec3(1.0, 1.0, 1.0));
//      float diff   = max(dot(normal, light), 0.1);
//      return vec3(0.0, diff, diff);
//  }
//     if (sdPlayMathCappedCone(p)<e){
//      vec3 normal = genNormal(p);
//      vec3 light   = normalize(vec3(1.0, 1.0, 1.0));
//      float diff   = max(dot(normal, light), 0.1);
//      return vec3(0.0, diff, diff);
//  }
//  if (sdPlayCappedCone(p)<e){
//      vec3 normal = genNormal(p);
//      vec3 light   = normalize(vec3(1.0, 1.0, 1.0));
//      float diff   = max(dot(normal, light), 0.1);
//      return vec3(0.0, diff, diff);
//  }
//  if (sdAnimePlayCappedCone(p)<e){
//      vec3 normal = genNormal(p);
//      vec3 light   = normalize(vec3(1.0, 1.0, 1.0));
//      float diff   = max(dot(normal, light), 0.1);
//      return vec3(diff, diff, diff);
//  }
    return vec3(0.0);
}

// カメラのワーク
void main(){
    // スクリーンスペースを考慮して座標を正規化
    vec2 p = (gl_FragCoord.xy * 2.0 - resolution) / min(resolution.x, resolution.y);
    // カメラを定義
    vec3 cPos  = vec3(0.0,  0.0,    3.0);   // カメラの位置
    vec3 cDir  = vec3(0.0,  0.0, -1.0);     // カメラの向き(視線)
    vec3 cUp   = vec3(0.0,  1.0,    0.0);   // カメラの上方向
    vec3 cSide = cross(cDir, cUp);          // 外積を使って横方向を算出
    float targetDepth = 1.0;                // フォーカスする深度

    // カメラの情報からレイを定義
    vec3 ray = normalize(cSide * p.x + cUp * p.y + cDir * targetDepth);
    // マーチングループを組む
    float dist = 0.0;   // レイとオブジェクト間の最短距離
    float rLen = 0.0;   // レイに継ぎ足す長さ
    vec3 rPos = cPos; // レイの先端位置(初期位置)

    // レイが進む処理(マーチングループ)
    for(int i = 0; i < 32; ++i){
        dist = distanceHub(rPos);
        rLen += dist;
        rPos = cPos + ray * rLen;
    }

    // レイとオブジェクトの距離を確認
    vec3 color = doColor(rPos);
    gl_FragColor = vec4(color, 1.0);
}
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