可換物理量ファミリー

1. はじめに

谷村省吾先生の著書「量子力学10講」¹⁾ の第６講に「可換物理量と結合確率」というのがあり、ここでは可換な物理量の値に関する結合確率を具体的な演算子を例にとりながら説明している。筆者はこの著書の輪読会²⁾ に参加しており、この第６講を担当することになった。その予習をしていて、この講が他の講に比べて極端に短く、内容も簡単で、谷村先生がなぜ単独の講としてこの話題をとりあげたのか不思議に思った。次講が「非可換物理量の量子効果」で、この本のハイライトともいうべき「波束の収縮」や「干渉効果」、そして「不確定性関係」をテーマにしており、それに比べるとこの第５講はいかにも貧弱に思えた。次講が「非可換物理量」なので、その準備として「可換物理量」とはどのようなものか示しておきたかったのだろうか？いや、それだけではあるまい。きっと深い思惑があってこうして単独の講として「可換物理量」を設けたのだろう、と深読みして考察したことを記事にまとめた。題して可換物理量ファミリーである。この講でとりあげられている具体的な演算子 $\hat{E}$ と $\hat{F}$ をスペクトル分解して、それらがどうして可換なのか、そして、一般的に可換な演算子はどのように構成されているのかを射影演算子の観点から考察してみた。

2. 可換な演算子の例

可換な演算子として谷村先生が例示しているのは、３次元のヒルベルト空間 $\mathcal{H} = \mathbb{C}^3$ 上の演算子

\begin{equation}
\begin{split}

\hat{E} &=
\begin{pmatrix}
5 & 1 & 0 \\
1 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 6 \\
\end{pmatrix}, \\

\hat{F} &=
\begin{pmatrix}
0 & 8 & 0 \\
8 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 8 \\
\end{pmatrix}

\end{split}
\end{equation}
\tag{2.1}

である。

これらの積を計算すると、

\hat{E} \hat{F} = \hat{F} \hat{F} = 
\begin{pmatrix}
8  & 40 & 0  \\
40 & 8  & 0  \\
0  & 0  & 48 \\
\end{pmatrix}
\tag{2.2}

となり、可換となる。

[\hat{E}, \hat{F}] \equiv \hat{E} \hat{F} - \hat{F} \hat{E} = 0.
\tag{2.3}

$\hat{E}$ は２つの固有値 $6, 4$ をもっており、そのうち $6$ は２重に縮退している。固有値 $6, 4$ に対応する固有ベクトルをそれぞれ $\boldsymbol{v}_1^{(1)}, \boldsymbol{v}_1^{(2)}, \boldsymbol{v}_2$ とすると、

\begin{equation}
\begin{split}

&\boldsymbol{v}_1^{(1)} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix},\\

&\boldsymbol{v}_1^{(2)} = 
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix},\\

&\boldsymbol{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
0 \\
\end{pmatrix}

\end{split}
\end{equation}
\tag{2.4}

で、

\begin{equation}
\begin{split}

&\hat{E} \boldsymbol{v}_1^{(1)} = 6 \boldsymbol{v}_1^{(1)}, \\
&\hat{E} \boldsymbol{v}_1^{(2)} = 6 \boldsymbol{v}_1^{(2)}, \\
&\hat{E} \boldsymbol{v}_2 = 4 \boldsymbol{v}_2

\end{split}
\end{equation}
\tag{2.5}

である。

同様に、$\hat{F}$ は２つの固有値 $8, -8$ をもっており、そのうち $8$ は２重に縮退している。固有値 $8, -8$ に対応する固有ベクトルはそれぞれ $\boldsymbol{v}_1^{(1)}, \boldsymbol{v}_1^{(2)}, \boldsymbol{v}_2$ で、

\begin{equation}
\begin{split}

&\hat{F} \boldsymbol{v}_1^{(1)} = 8 \boldsymbol{v}_1^{(1)}, \\
&\hat{F} \boldsymbol{v}_1^{(2)} = 8 \boldsymbol{v}_1^{(2)}, \\
&\hat{F} \boldsymbol{v}_2 = -8 \boldsymbol{v}_2

\end{split}
\end{equation}
\tag{2.6}

である。
このように $\boldsymbol{v}_1^{(1)}, \boldsymbol{v}_1^{(2)}, \boldsymbol{v}_2$ は演算子 $\hat{E}$ と $\hat{F}$ の同時固有ベクトルになっており、CONS（完全正規直交系：complete orthonormal system）を構成している。演算子 $\hat{E}, \hat{F}$ が可換なのは同時固有ベクトルをもつからである。
なお、縮退している固有値に対する固有ベクトルは一意には決まらず、線形結合の分だけ不定性があり、(2.4)式の $\boldsymbol{v}_1^{(1)}, \boldsymbol{v}_1^{(2)}$ の代わりに例えば

\begin{equation}
\begin{split}

&\tilde{\boldsymbol{v}}_1^{(1)} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{pmatrix},\\

&\tilde{\boldsymbol{v}}_1^{(2)} = \frac{1}{\sqrt{6}}
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
-2 \\
\end{pmatrix},\\

&\boldsymbol{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
0 \\
\end{pmatrix}

\end{split}
\end{equation}
\tag{2.7}

を CONS として選んでもよい。
(2.4)式で与えられる変更前の CONS と(2.7)式で与えられる変更後の CONS を図示すると次のようになる。

図に示すように縮退する固有値に対する固有ベクトル空間は CONS の変更前後で変わらない。この場合、固有ベクトル空間は $x = y$ で表される平面になり、変更の前後で平面 $x = y$ 内で回転しているだけである。

3. スペクトル分解

演算子 $\hat{E}$ の固有値 $e_1 = 6, e_2 = 4$ に対応する固有ベクトルが張る部分空間をそれぞれ $M_1, M_2$ とすると、

\begin{equation}
\begin{split}

&M_1 = \mathrm{Span}(\boldsymbol{v}_1^{(1)}, \boldsymbol{v}_1^{(2)}), \\
&M_2 = \mathrm{Span}(\boldsymbol{v}_2)

\end{split}
\end{equation}
\tag{3.1}

である。ここで $\mathrm{Span}(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \dots)$ は、ベクトル $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}, \dots$ で張られる空間を表すものとする。
部分空間 $M_1, M_2$ への射影演算子を $\hat{P}_1, \hat{P}_2$ とすると、

\begin{equation}
\begin{split}

\hat{P}_1 &= 
\begin{bmatrix} \boldsymbol{v}_1^{(1)} & \boldsymbol{v}_1^{(2)} \end{bmatrix} 
\left(
\begin{bmatrix} \boldsymbol{v}_1^{(1)} & \boldsymbol{v}_1^{(2)} \end{bmatrix} ^T
\begin{bmatrix} \boldsymbol{v}_1^{(1)} & \boldsymbol{v}_1^{(2)} \end{bmatrix} 
\right) ^{-1}
\begin{bmatrix} \boldsymbol{v}_1^{(1)} & \boldsymbol{v}_1^{(2)} \end{bmatrix} ^T \\

&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\left(
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\right) ^{-1}
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\

&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\

&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\

&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\end{split}
\end{equation}
\tag{3.2}

\begin{equation}
\begin{split}

\hat{P}_2 &= 
\boldsymbol{v}_2
\left(
{\boldsymbol{v}_2}^T
\boldsymbol{v}_2
\right) ^{-1}
{\boldsymbol{v}_2}^T \\

&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{pmatrix}
\left(
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{pmatrix}
\right) ^{-1}
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}
\\

&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}
\\

&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\end{split}
\end{equation}
\tag{3.3}

である³⁾。なお、(3.2)式で $\hat{P}_1$ を計算する際に(2.4)式の CONS を利用したが、(2.7)式を利用しても同じ結果を得る。
(3.2)式、(3.3)式を用いると $\hat{E}$ は次のようにスペクトル分解できる。

\begin{equation}
\begin{split}

\hat{E} &= e_1 \hat{P}_1 + e_2 \hat{P}_2 \\
&= 6 \hat{P}_1 + 4 \hat{P}_2 \\
&=
 6 \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
 + 4 \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.

\end{split}
\end{equation}
\tag{3.4}

一方、演算子 $\hat{F}$ の固有値 $f_1 = 8, f_2 = -8$ に対応する固有ベクトルが張る部分空間は $\hat{E}$ のそれと同じだから、それぞれ $M_1, M_2$ で、それらに対する射影演算子も同じく $\hat{P}_1, \hat{P}_2$ となり、 $\hat{F}$ は次のようにスペクトル分解できる。

\begin{equation}
\begin{split}

\hat{F} &= f_1 \hat{P}_1 + f_2 \hat{P}_2 \\
&= 8 \hat{P}_1 - 8 \hat{P}_2 \\
&=
 8 \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
 - 8 \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 0 & 8 & 0 \\ 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}.

\end{split}
\end{equation}
\tag{3.5}

4. 可換性

(3.2)式、(3.3)式から射影演算子については以下の関係式が導かれる。

\begin{equation}
\begin{split}

\hat{P}_1^2 &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&= \hat{P}_1 \\

\hat{P}_2^2 &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&= \hat{P}_2

\end{split}
\end{equation}
\tag{4.1}

\begin{equation}
\begin{split}

\hat{P}_1 \hat{P}_2 &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 \\

\hat{P}_2 \hat{P}_1 &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 \\

\end{split}
\end{equation}
\tag{4.2}

\begin{equation}
\begin{split}

\hat{P}_1 + \hat{P}_2 &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \hat{I} \\

\end{split}
\end{equation}
\tag{4.3}

(4.1)式は射影演算子の定義式 $\hat{P}^2 = \hat{P}$ そのもので、(4.2)式から射影演算子の交換関係

[\hat{P}_1, \hat{P}_2] = \hat{P}_1 \hat{P}_2 - \hat{P}_2 \hat{P}_1 = 0
\tag{4.4}

が導かれる。

(3.4)式、(3.5)式から

\begin{equation}
\begin{split}

[\hat{E}, \hat{F}] &= [e_1 \hat{P}_1 + e_2 \hat{P}_2, f_1 \hat{P}_1 + f_2 \hat{P}_2] \\
&= e_1 f_1 [\hat{P}_1, \hat{P}_1] 
+ e_1 f_2 [\hat{P}_1, \hat{P}_2] 
+ e_2 f_1 [\hat{P}_2, \hat{P}_1] 
+ e_2 f_2 [\hat{P}_2, \hat{P}_2] \\
&= 0
\end{split}
\end{equation}
\tag{4.5}

という $\hat{E}$ と $\hat{F}$ の可換性式(2.3)が再現できる。ここで、$[\hat{P}_1, \hat{P}_1] = [\hat{P}_2, \hat{P}_2] = 0$ と(4.4)式から得られる $[\hat{P}_1, \hat{P}_2] = -[\hat{P}_2, \hat{P}_1] = 0$ を使った。

なお、(4.5)式は任意の複素数 $e_1, e_2, f_1, f_2$ について言えるので、与えられた任意の複素数 $a_1, a_2$ に対して

\hat{A} = a_1 \hat{P}_1 + a_2 \hat{P}_2
\tag{4.6}

という形をしている任意の演算子 $\hat{A}$ について(4.5)式の交換関係式が成立す。つまり、(4.6)式の形で与えられる任意の演算子ファミリーは可換であるということが言える。

5. 一般化

前章で述べたことは次のように一般化できる⁴⁾。

ヒルベルト空間 $\mathcal{H} = \mathbb{C}^n$ 上の自己共役演算子 $\hat{A}$ の異なる固有値を $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ として $M_i = \lbrace x \in \mathbb{C}^n | \hat{A} x = \lambda_i x \rbrace$ によって部分空間 $M_i$ を定義する。
$M_i$ の次元を $f_i$ とすれば $$ f_1 + \cdots + f_k = n \tag{5.1}$$ が成立する。
$\hat{P}_1, \dots, \hat{P}_k$ をそれぞれ $M_1, \dots, M_k$ に対応する射影演算子とすると、$$ i \ne j \Rightarrow \hat{P}_i \cdot \hat{P}_j = 0 \tag{5.2}$$ $$ \hat{I} = \hat{P}_1 + \cdots + \hat{P}_{k} \tag{5.3}$$ $$ \hat{A} = \lambda_1 \hat{P}_1 + \cdots \lambda_k \hat{P}_k \tag{5.4} $$ が成立する。

ここで、(5.2)式は前章の(4.2)式に、(5.3)式は(4.3)式に、そして(5.4)式は(4.6)式に対応している。(5.4)式の形をしている演算子ファミリーは可換である。つまり、任意の複素数 $s_1, \dots, s_k, t_1, \dots, t_k$ に対して $$ \hat{S} = s_1 \hat{P}_1 + \cdots s_k \hat{P}_k, \hat{T} = t_1 \hat{P}_1 + \cdots t_k \hat{P}_k \tag{5.5}$$ とすると $$[\hat{S}, \hat{T}] = 0 \tag{5.6}$$ となる。

6. 非可換演算子

これまで可換な演算子の構成を考えてきたが、この章では非可換な演算子の条件を考察する。

いま、上図に示すように

\begin{equation}
\begin{split}

&\boldsymbol{u}_1^{(1)} = 
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix},\\

&\boldsymbol{u}_1^{(2)} = 
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix},\\

&\boldsymbol{u}_2 = 
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix}

\end{split}
\end{equation}
\tag{6.1}

というベクトルを考え、これらのベクトルで張られる次のような部分空間を作る。

\begin{equation}
\begin{split}

&M'_1 = \mathrm{Span}(\boldsymbol{u}_1^{(1)}, \boldsymbol{u}_1^{(2)}), \\
&M'_2 = \mathrm{Span}(\boldsymbol{u}_2)

\end{split}
\end{equation}
\tag{6.2}

部分空間 $M'_1, M'_2$ への射影演算子を $\hat{P'}_1, \hat{P'}_2$ とすると、

\begin{equation}
\begin{split}

\hat{P'}_1 &= 
\begin{bmatrix} \boldsymbol{u}_1^{(1)} & \boldsymbol{u}_1^{(2)} \end{bmatrix} 
\left(
\begin{bmatrix} \boldsymbol{u}_1^{(1)} & \boldsymbol{u}_1^{(2)} \end{bmatrix} ^T
\begin{bmatrix} \boldsymbol{u}_1^{(1)} & \boldsymbol{u}_1^{(2)} \end{bmatrix} 
\right) ^{-1}
\begin{bmatrix} \boldsymbol{u}_1^{(1)} & \boldsymbol{u}_1^{(2)} \end{bmatrix} ^T \\

&=
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\left(
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\right) ^{-1}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\

&=
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\

&=
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\

&=
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\

\hat{P'}_2 &= 
\boldsymbol{u}_2
\left(
{\boldsymbol{u}_2}^T
\boldsymbol{u}_2
\right) ^{-1}
{\boldsymbol{u}_2}^T \\

&=
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\left(
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\right) ^{-1}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\\

&=
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\\

&=
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\end{split}
\end{equation}
\tag{6.4}

となる。
(4.6)式と同じように任意の複素数 $a'_1, a'_2$ を用いて射影演算子 $\hat{P'}_1, \hat{P'}_2$ から任意の演算子

\hat{A'} = a'_1 \hat{P'}_1 + a'_2 \hat{P'}_2
\tag{6.5}

を作る。
そして、(4.6)式の $\hat{A}$ とこの $\hat{A'}$ の可換性を調べる。

\begin{equation}
\begin{split}

[\hat{A}, \hat{A'}] &= [a_1 \hat{P}_1 + a_2 \hat{P}_2, a'_1 \hat{P'}_1 + a'_2 \hat{P'}_2] \\
&= a_1 a'_1 [\hat{P}_1, \hat{P'}_1] 
+ a_1 a'_2 [\hat{P}_1, \hat{P'}_2] 
+ a_2 a'_1 [\hat{P}_2, \hat{P'}_1] 
+ a_2 a'_2 [\hat{P}_2, \hat{P'}_2] \\

\end{split}
\end{equation}
\tag{6.6}

ここで、

\begin{equation}
\begin{split}

[\hat{P}_1, \hat{P'}_1] &= \hat{P}_1 \hat{P'}_1 - \hat{P'}_1 \hat{P}_1 \\
&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\ne 0
\end{split}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{split}

[\hat{P}_1, \hat{P'}_2] &= \hat{P}_1 \hat{P'}_2 - \hat{P'}_2 \hat{P}_1 \\
&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\ne 0
\end{split}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{split}

[\hat{P}_2, \hat{P'}_1] &= \hat{P}_2 \hat{P'}_1 - \hat{P'}_1 \hat{P}_2 \\
&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\ne 0
\end{split}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{split}

[\hat{P}_2, \hat{P'}_2] &= \hat{P}_2 \hat{P'}_2 - \hat{P'}_2 \hat{P}_2 \\
&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\ne 0
\end{split}
\end{equation}

であるから(6.6)式より

[\hat{A},\hat{A'}] = 
\begin{pmatrix}
0 & \frac{(a_1 - a_2)(a'_1 - a'_2)}{2} & 0 \\
 -\frac{(a_1 - a_2)(a'_1 - a'_2)}{2} & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}

となって、$(a_1 - a_2)(a'_1 - a'_2) \ne 0 $ の場合に非可換となる。$a_1, a_2$ および $a'_1, a'_2$ はそれぞれ演算子 $\hat{A}$ および $\hat{A'}$ の異なる固有値なので $a_1 \ne a_2, a'_1 \ne a'_2$ であるから $(a_1 - a_2)(a'_1 - a'_2) \ne 0 $ である。よって、$\hat{A}$ と $\hat{A'}$ は非可換である。

この例から(4.6)式、(6.5)式のように演算子をスペクトル分解したとき、射影演算子 $\hat{P}_i$ と $\hat{P'}_j$ が非可換 $$ [\hat{P}_i, \hat{P'}_j] \ne 0 \tag{6.7}$$ であれば、元の演算子も非可換である。射影演算子の可換性の条件については参考文献 5 を参照されたい。

7. おわりに

量子力学では演算子の非可換性によって奇妙な現象が現れる。不確定性関係や干渉効果などがそれである。たとえばロバートソンの不確定性関係は

\sigma (\hat{A}) \cdot \sigma (\hat{B}) \ge \frac{1}{2} \left| \braket{\psi |[\hat{A}, \hat{B}] | \psi} \right|

で、物理量 $\hat{A}$ と $\hat{B}$ のゆらぎ（標準偏差） $\sigma (\hat{A})$ と $\sigma (\hat{B})$ の積が交換子 $[\hat{A}, \hat{B}]$ の期待値の $1/2$ 以上になるという関係式で非可換性の効果が現れている。また、物理量 $\hat{A}$ の $0$ でない異なる固有値 $a_1, a_2$ に属する固有ベクトルを $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2$ とした場合、$\hat{A}$ と非可換な物理量 $\hat{B}$ に対して $$\braket{\boldsymbol{v}_1|\hat{B}|\boldsymbol{v}_2} \ne 0 \tag{7.1}$$ のような非対角項が存在し、それが干渉項として働き二重スリットの干渉縞⁶⁾やベル実験の奇妙な量子相関⁷⁾として現れる。

このように非可換性は量子物理学の本質とでもいうべき特性で、任意の２つの演算子が可換であるかどうかはこの記事で見てきたようにスペクトル分解したときの射影演算子の素性にかかっている。すなわち、(5.5)式のように同じファミリーに属する演算子 $\hat{S}, \hat{T}$ は可換で部分空間 $M_i$ を共有する。そして、６章「非可換演算子」の例で見たように(6.7)式のような非可換射影演算子から構成される（つまり射影演算子が射影する部分空間を共有しない）物理量は非可換になり⁵⁾、奇妙な現象を生み出す。このように、非可換性はヒルベルト空間上の交わらない部分空間によって生まれるのは興味深い。

参考文献

1. 谷村省吾：量子力学10講. 名古屋大学出版会, 2021.
2. 「量子力学10講」オンライン読書会. https://akbrobot.connpass.com/event/306582/ （2024.1.20 参照）
3. 田中昌昭：射影行列のトレースは行列の階数に等しい. https://qiita.com/mtanaka-kumw/items/e938869178fecf0590cf（2024.1.20 参照）
4. 竹内外史：線形代数と量子力学（第１０版）. 裳華房, 2021.
5. 田中昌昭：射影行列の可換性の条件. https://qiita.com/mtanaka-kumw/items/ede519547bfef376e2b8（2024.1.20 参照）
6. 田中昌昭：量子力学・再履修. https://qiita.com/mtanaka-kumw/items/753b5e8b165517a117e2（2024.1.21 参照）
7. 田中昌昭：ベルの不等式とその破れ. https://qiita.com/mtanaka-kumw/items/7024e4974e4122dc8dbc（2024.1.21 参照）
8. 筒井泉：量子力学の反常識と素粒子の自由意志. 岩波科学ライブラリー 179, 岩波書店, 2011/4/27.

付録A (7.1)式の証明

２つの物理量 $\hat{A}$ と $\hat{B}$ の非可換性 $[\hat{A}, \hat{B}] \ne 0$ から導かれる(7.1)式の証明を与えておこう。

まず、$[\hat{A}, \hat{B}] \ne 0$ より

\hat{A} \hat{B} \ne \hat{B} \hat{A}. \tag{A.1}

(A.1)式より

\braket{\boldsymbol{v}_1|\hat{A} \hat{B}|\boldsymbol{v}_2} \ne \braket{\boldsymbol{v}_1|\hat{B} \hat{A}|\boldsymbol{v}_2}. \tag{A.2}

ここで、

\hat{A} \ket{\boldsymbol{v}_1} = a_1 \ket{\boldsymbol{v}_1}
\implies
\bra{\boldsymbol{v}_1} \hat{A} = a_1^{*} \bra{\boldsymbol{v}_1}.
\tag{A.3}

また、

\hat{A} \ket{\boldsymbol{v}_2} = a_2 \ket{\boldsymbol{v}_2}. \tag{A.4}

(A.3)式と(A.4)式から(A.2)式は

a_1^{*} \braket{\boldsymbol{v}_1|\hat{B}|\boldsymbol{v}_2} \ne a_2 \braket{\boldsymbol{v}_1|\hat{B}|\boldsymbol{v}_2} \tag{A.5}

となり、

(a_1^{*} - a_2) \braket{\boldsymbol{v}_1|\hat{B}|\boldsymbol{v}_2} \ne 0
\tag{A.6}

を得る。
固有値は実数なので $a_1^{*} = a_1$ 、また、２つの固有値は異なるので $a_1^{*} - a_2 = a_1 - a_2 \ne 0$ となり、最終的に(A.6)式から(7.1)式 $$\braket{\boldsymbol{v}_1|\hat{B}|\boldsymbol{v}_2} \ne 0 \tag{A.7}$$ が得られる。

付録B 非可換演算子の補足

６章「非可換演算子」では非可換となる具体例として(6.2)式のような部分空間を考えた。ところが、(3.1)式とは異なる部分空間であるにもかかわらず可換となるケースがある。ここではその具体例を示してなぜそうなるかを考察する。

６章では部分空間として $y-z$ 平面（$\mathrm{Span}(\boldsymbol{u}_1^{(1)}, \boldsymbol{u}_1^{(2)})$）と $x$ 軸（$\mathrm{Span}(\boldsymbol{u}_2)$）を考えたが、ここでは以下のような $x-y$ 平面（$M^"_1$）と $z$ 軸（$M^"_2$）を考える（下図参照）。

\begin{equation}
\begin{split}

&M^"_1 = \mathrm{Span}(\boldsymbol{u}_2, \boldsymbol{u}_1^{(1)}), \\
&M^"_2 = \mathrm{Span}(\boldsymbol{u}_1^{(2)})

\end{split}
\end{equation}
\tag{B.1}

部分空間 $M^"_1, M^"_2$ への射影演算子を $\hat{P^"}_1, \hat{P^"}_2$ とすると、

\begin{equation}
\begin{split}

\hat{P^"}_1 &= 
\begin{bmatrix} \boldsymbol{u}_2 & \boldsymbol{u}_1^{(1)} \end{bmatrix} 
\left(
\begin{bmatrix} \boldsymbol{u}_2 & \boldsymbol{u}_1^{(1)} \end{bmatrix}^T
\begin{bmatrix} \boldsymbol{u}_2 & \boldsymbol{u}_1^{(1)} \end{bmatrix}
\right) ^{-1}
\begin{bmatrix} \boldsymbol{u}_2 & \boldsymbol{u}_1^{(1)} \end{bmatrix}^T
 \\

&=
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\left(
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\right) ^{-1}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\

&=
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\

&=
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\

&=
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\

\hat{P^"}_2 &= 
\boldsymbol{u}_1^{(2)}
\left(
{\boldsymbol{u}_1^{(2)}}^T
\boldsymbol{u}_1^{(2)}
\right) ^{-1}
{\boldsymbol{u}_1^{(2)}}^T \\

&=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\left(
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\right) ^{-1}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\\

&=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\\

&=
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\end{split}
\end{equation}
\tag{B.2}

となる。
ここで、(3.2)式に示す $\hat{P}_1$、(3.3)式に示す $\hat{P}_2$ と上記(B.2)式の $\hat{P^"}_1, \hat{P^"}_2$ の可換性を調べると以下のようになる。

\begin{equation}
\begin{split}

[\hat{P}_1, \hat{P^"}_1] &= \hat{P}_1 \hat{P^"}_1 - \hat{P^"}_1 \hat{P}_1 \\
&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
= 0
\end{split}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{split}

[\hat{P}_1, \hat{P^"}_2] &= \hat{P}_1 \hat{P^"}_2 - \hat{P^"}_2 \hat{P}_1 \\
&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
= 0
\end{split}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{split}

[\hat{P}_2, \hat{P^"}_1] &= \hat{P}_2 \hat{P^"}_1 - \hat{P^"}_1 \hat{P}_2 \\
&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
= 0
\end{split}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{split}

[\hat{P}_2, \hat{P^"}_2] &= \hat{P}_2 \hat{P^"}_2 - \hat{P^"}_2 \hat{P}_2 \\
&=
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
= 0
\end{split}
\end{equation}

したがって、$[\hat{P}_i, \hat{P^"}_j] = 0$ となり、可換となる。よって、これらの射影演算子から構成される演算子も可換となる。部分空間を共有しないにもかかわらず物理量が可換となる。しかし、注意深く眺めてみると $M_i \perp M^"_j$ の関係が成り立っている。つまり、平面 $x = y$ （$M_1$）は $x - y$ 平面（$M^"_1$）にも $z$ 軸（$M^"_2$）にも直交しているし、ベクトル $\boldsymbol{v}_2$ に平行な直線（$M_2$）も $x - y$ 平面（$M^"_1$）にも $z$ 軸（$M^"_2$）にも直交している。よって、非可換な条件はヒルベルト空間上の交わらない部分空間によって生まれるというよりは直交しない部分空間によって生まれるというのが正しい。