与式に$x=1$を代入して$3$で割った余りは
　$1!+p^4≡0$ $(mod$ $3)$
になり、
　$p^4≡2$ $(mod$ $3)$
です。
　$0^4≡0,1^4≡1,2^4≡1$ $(mod$ $3)$ $…①$
なので、$x=1$は条件を満たしません。

与式に$x=2$を代入して$2$で割った余りは
　$p^4≡q^2$ $(mod$ $2)$
になり、$p,q$の偶奇が一致します。
素数の偶数は$2$しかありませんが、与式に$x=2,p=2,q=2$を代入すると
　$2!+2^4≠9×2^2$
となり、等式が成り立たないので、$p,q$は偶数ではありません。
続いて、与式を$4$で割った余りは
　$2!+p^4≡q^2$ $(mod$ $4)$
　$2+p^4≡q^2$ $(mod$ $4)$
になります。
　$1^4≡1,3^4≡1,1^2≡1,3^2≡1$ $(mod$ $4)$
なので、どの条件でも合同式が成立せず、$p,q$は奇数でもないので、$x=2$も条件を満たしません。

$x≧3$の場合、
$x!$は常に$3$の倍数であることから、任意の整数$n$を用いて
　$3n+p^4=9q^2$
と表せます。
したがって
　$p^4≡0$ $(mod$ $3)$
となり、$①$の条件より、$p$は$3$の倍数であることがわかります。
$3$の倍数の素数は$3$しかないため、$p=3$になります。

与式に$p=3$を代入して、
　$x!+3^4=9q^2$
が得られるので、
　$x!=9(q^2-9)$ $…②$
と式変形でき、$x!$は$9$の倍数になります。
　$3!=2×3$
　$4!=2^3×3$
　$5!=2^3×3×5$
　$6!=2^4×3^2×5$
であるので、$x!$が$9$の倍数であるための条件は、$x≧6$とわかります。

$②$を式変形すると、
　$x!=9(q+3)(q-3)$ $…②'$
となります。
$q=3$を代入すると右辺が$0$になり、$x≧6$の場合、$②'$の等式は成立しません。
また、$q$は$3$以外の素数なので$q+3,q-3$はともに$3$の倍数ではないことがわかります。
このことから、$x!$の素因数分解において、$3$のべき乗は$2$になります。
　$7!=2^4×3^2×5×7$
　$8!=2^7×3^2×5×7$
　$9!=2^7×3^4×5×7$
であるので、$x!$の素因数分解において、$3$のべき乗が$2$であるための条件は、$x<9$とわかります。

与式に$x=6$を代入すると
　$6!+3^4=9×89$
となり、$q^2=89$となりますが、
　$9^2<89<10^2$なので、等式が成立しません。
与式に$x=7$を代入すると
　$7!+3^4=9×569$
となり、$q^2=569$となりますが、
　$23^2<569<54^2$なので、等式が成立しません。
与式に$x=8$を代入すると
　$8!+3^4=9×4489$
となり、$q^2=4489$となります。
　$4489<67^2$
で、$67$は素数なので、これは条件を満たします。

したがって条件を満たす$(x,p,q)$は$(8,3,67)$の$1$通りだけであり、
解は$xpq=8×3×67=1608$です。