上はOMC236 D問題の別解を図示したものです。
点$Q$から辺$AB,BC$への垂線の足をそれぞれ点$X,Y$とします。
このとき、四角形$BXQY$は長方形なので、$∠XQY=90°$なので、$∠RQX=∠PQY$です。
また、$QR=QP$であるので、直角三角形の合同条件より、$△RQX≡△PQY$となり、$QX=QY$になります。
したがって、長方形$BXQY$は正方形になります。
ここで、$BQ$(正方形$BXQY$の対角線)は$∠ABC$の二等分線であるので、
$AB:BC=AQ:QY$が言え、$5:12$になります。
また、三平方の定理から$AB:BC:CA=5:12:13$となります。
よって、$QX=QY=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}$です。
(ここから、別解とは違う解き方です。)
$RX=PY=x$と置きます。
$△PBR$の周長が$17$であるので、$PR$は、
$17-(\frac{60}{13}+x)-(\frac{60}{13}-x)$
$=17-2×\frac{60}{13}$
$=\frac{101}{13}$
です。
また、三平方の定理から
$(\frac{60}{13}+x)^2+(\frac{60}{13}-x)^2=(\frac{101}{13})^2$
$2×\lbrace(\frac{60}{13})^2+x^2\rbrace=(\frac{101}{13})^2$
$2x^2=(\frac{101}{13})^2-2×(\frac{60}{13})^2$
$x^2=\frac{1}{2}×(\frac{101}{13})^2-(\frac{60}{13})^2$ $...①$
です。
$△PBR$の面積は、
$\frac{1}{2}×(\frac{60}{13}+x)×(\frac{60}{13}-x)$
$=\frac{1}{2}\lbrace(\frac{60}{13})^2-x^2\rbrace$
$①$を代入して、
$=\frac{1}{2}\lbrace(\frac{60}{13})^2-(\frac{1}{2}×(\frac{101}{13})^2-(\frac{60}{13})^2)\rbrace$
$=(\frac{60}{13})^2-\frac{1}{4}×(\frac{101}{13})^2$
$=\frac{1}{4×13^2}×(4×60^2-101^2)$
$=\frac{1}{4×13^2}×(120+101)×(120-101)$
$=\frac{1}{4×13^2}×(13×17)×19$
$=\frac{17×19}{4×13}$
$=\frac{323}{52}$
上記より、解$a+b$は、$323+52=375$となります。