・$1〜10$の和は$55$
・$A$と$B$の和が等しい
から、$C$は奇数です。
・$C$は$4$枚で和が$30$以上
・$C$は奇数
・$\Sigma_{k=7}^{10}=33$
から、$C$は$31$か$33$です。
$C$の条件は、
・$6+8+9+10$ $…①$
・$4+8+9+10$ $…②$
・$5+7+9+10$ $…③$
・$6+7+8+10$ $…④$
のどれかです。
$①$の場合、
$A,B$は$1,2,3,4,5,7$です。
すべての積の素因数分解は$2^3×3×5×7$となり、$16$で割り切れないので、この条件は不成立です。
$②$の場合、
$A,B$は$1,2,3,5,6,7$です。
すべての積の素因数分解は$2^2×3^2×5×7$となり、$16$で割り切れないので、この条件も不成立です。
$③$の場合、
$A,B$は$1,2,3,4,6,8$です。
すべての積の素因数分解は$2^7×3^2$となり、$16$で割り切れます。
$④$の場合、
$A,B$は$1,2,3,4,5,9$です。
すべての積の素因数分解は$2^3×3^3×5$となり、$16$で割り切れないので、この条件も不成立です。
よって、$A,B$は$1,2,3,4,6,8$であることがわかります。
$1+2+3+4+6+8=24$なので、$A=B=12$で、$2$つに分けると、
・$(8,4),(1,2,3,6)$ $…⑤$
・$(8,3,1),(2,4,6)$ $…⑥$
のどちらかです。
$⑤,⑥$の積はそれぞれ、
$8×4=2^5$ $…⑤_L$
$1×2×3×6=2^2×3^2$ $…⑤_R$
$8×3×1=2^3×3$ $…⑥_L$
$2×4×6=2^4×3$ $…⑥_R$
で、$⑤_L$と$⑥_R$は$16$の倍数なので、$B$になり得ます。
したがって、$A$として考えられる組み合わせは、$(1,2,3,6)$と$(1,3,8)$です。
これらの積の和は、
$1×2×3×6+1×3×8=36+24=60$
です。