剰余の定理の解き方を練習したので、類似の問題を続けて投稿します。

まず、$(1,3),(2,5),(3,7)$の関係性から、
　$y=2x+1$ $…①$
が思い浮かびます。
OMCB012D問題では$f(x)=g(x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+C$と定数でしたが、この$C$の部分を変数(つまり$①$)にします。すると、
　$f(x)=g(x)(x-1)(x-2)(x-3)+(2x+1)$ $…②$
になります。
また、$x=4$を$②$に代入すると、
　$f(4)=6g(4)+9$
になり、$f(4)=567$であるので、
　$6g(4)+9=567$
　$g(4)=93$ $…③$
$③$より、$g(x)$を剰余の定理を使って表すと、
　$g(x)=h(x)(x-4)+93$ $…④$
になります。
$④$を$②$に代入すると、
　$f(x)=\lbrace h(x)(x-4)+93\rbrace(x-1)(x-2)(x-3)+(2x+1)$
　$=h(x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+93(x-1)(x-2)(x-3)+2x+1$ $…⑤$
になります。
$⑤$に$x=10$を代入すると、
　$f(10)=h(10)×3024+46893$ $…⑥$
になります。

$h(10)$が負の整数でも問題の制約は満たすので、$⑥$が負と正の境界になる$h(10)$を探してそこから$5$番目に小さい$f(10)$を求めます。
まず、$46893÷3024≒15.5$なので、
以下のように、$h(10)$が$-16$と$-15$の間で負から正になります。
　$f(10)=-16×3024+46893=-1491$
　$f(10)=-15×3024+46893=1533$
したがって、正整数の最小の$f(10)$は$h(10)=-15$の場合です。
$5$番目は、$h(10)=-11$のときなので、
　$f(10)=-11×3024+46893=13629$
が解になります。