まず、$f^n(x)$を展開した式を考えます。
$f^3(x)=f(f(f(x)))$
$=f(f(135x-246))$
$=f(135×(135x-246)-246)$
$=f(135^2x-135×246-246)$
$=135×(135^2x-135×246-246)-246$
$=135^3x-135^2×246-135×246-246$
$=135^3x-246×\Sigma_{k=0}^{3-1}135^k$
おそらく、
$f^n(x)=135^nx-246×\Sigma_{k=0}^{n-1}135^k$
になると推測します。
$f^{10}(x)$と$f^{401}(x)$に当てはめます。
$f^{10}(x)=135^{10}x-246×\Sigma_{k=0}^{10-1}135^k$
$f^{401}(x)=135^{401}x-246×\Sigma_{k=0}^{401-1}135^k$
$f^{10}(x)=f^{401}(x)$なので、
$135^{10}x-246×\Sigma_{k=0}^{10-1}135^k=135^{401}x-246×\Sigma_{k=0}^{401-1}135^k$
$246×(\Sigma_{k=0}^{401-1}135^k-\Sigma_{k=0}^{10-1}135^k)=(135^{401}-135^{10})x$
$246×\Sigma_{k=10}^{400}135^k=(135^{401}-135^{10})x$
左右を入れ替えて、$135^{10}$で括ると、
$135^{10}×(135^{391}-1)x=246×135^{10}×\Sigma_{k=0}^{390}135^k$
また、$135^{391}-1$を変形して、
$=(135-1)(135^{390}+…+135^2+135^1+1)$
$=(135-1)\Sigma_{k=0}^{390}135^k$
とできるので、
$135^{10}×\lbrace(135-1)\Sigma_{k=0}^{390}135^k\rbrace x=246×135^{10}×\Sigma_{k=0}^{390}135^k$
両辺を$135^{10}\Sigma_{k=0}^{390}135^k$で割って、
$(135-1)x=246$
$x=\frac{246}{135-1}$
$=\frac{2×3×41}{2×67}$
約分して、
$x=\frac{123}{67}$
問題文では総和となっていますが、$x$が一意に定まるので、総和も
$\frac{123}{67}$となり、$a=123,b=67$となります。
したがって、解は、
$a+b=123+67=190$