$6$個のボールを$3$つの箱に入れる方法は$_8C_2$通りになります。
($0$個でもOKで、ボールは区別せず、箱は区別する場合)
一見すると$3$や$6$と関係ない$2$や$8$が現れるので違和感がありますが、
これは$1$列に並んだ$6$個のボールを$2$枚の板を使って仕切ることと同じであり、
$6$個のボールと$2$枚の板を一列に並べることです。
最初に箱は区別する場合と書きましたが、板になったら区別しません。
$2$枚の板の順番を入れ替えても$3$つに分けたボールの数には影響しないからです。
ボールと板を合わせた$8$つを並べるために、$2$枚の板をそれぞれ何番目に置くかを考えます。
準備として、置く場所を作ります。
($□$は何も置いていない場所です。)
$□□□□□□□□$
まず、板を$1$枚置きます。
$□□□□丨□□□$
置き方は$8$通りです。
次に、$2$枚目の板を置きます。
$□□丨□丨□□□$
空いている$7$箇所のうちの$1$つに置いたので、$7$通りの置き方があるので、$2$枚の板の置き方は$8×7=56$通りあります。
上の例では、$5$番目に置いた後に$3$番目に置きましたが、
板が区別できない場合は、$3$番目に置いた後に$5$番目に置いても同じです。
なので、$2$で割ると、$8×7÷2=28$通りになります。
($8×7$は$_8P_2$であり、$÷2$の$2$は、正確には$_2P_2$または$2!$です。したがって、$\frac{_8P_2}{_2P_2}=_8C_2=28$です。)
板の置き場所が決まったら残った所にボールを置きます。
$○○丨○丨○○○$
これは$6$箇所に$6$個のボールを置くので$1$通りです。
ちなみに$_8C_2$の$2$と$8$はどこから来たかというと、
$2=3-1$ (つまり板の枚数)
$8=6+3-1$ (つまりボールと板の個数の和)
でした。
また、$_8C_2=_8C_6$でもあります。($6=8-2$です。)
(計算すると、$\frac{8×7}{2×1}=\frac{8×7×6×5×4×3}{6×5×4×3×2×1}$で、共通部分を約分すると同じになります。)
まとめると、$6$個のボールを$3$つの箱に分けて入れる組み合わせは、
$ _{6+3-1}C _{3-1}$または$ _{6+3-1}C _{6}$の$28$通りです。