左辺を変形すると、
$=((2^2)^{sinα})^{cosα}$
$=2^{2×sinα×cosα}$
$=2^{2sinαcosα}$
$=2^{sin2α}$。
右辺は、
$=2^{\frac{1}{2}}$。
指数部$sin2α=\frac{1}{2}$より、
$2α=2nπ+\frac{1}{6}π$ $…①$
$2α=2nπ+\frac{5}{6}π$ $…②$
$(n=0,1…)$
$①$、$②$の両辺を$2$で割ると、
$α=(n+\frac{1}{12})π$ $…①'$
$α=(n+\frac{5}{12})π$ $…②'$
$0<\frac{1}{12}<\frac{5}{12}<1$なので、昇順に並べると、
$(①',n=0),(②',n=0),(①',n=1),(②',n=1),(①',n=2),…$となります。
したがって$20$番目は、$②'$、かつ$n=9$となるので、
$α=(9+\frac{5}{12})π$。
$\frac{a}{b}π$の形にすると、
$(9+\frac{5}{12})π=\frac{9×12+5}{12}π$
$=\frac{113}{12}π$
となり、
$a+b=125$。