$∣x∣+∣y∣+∣z∣≤1$を満たす範囲は、
$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)$が頂点の正八面体の内側。
正三角形の一辺の長さが$\sqrt{2}$なので、高さは$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{2}$となり、正三角形$1$つの面積は$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{2}÷2=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
$x+y+z=0$($≥$ではなくて、まずは$=$)を満たす範囲は、$(0,0,0)$を通り$(1,1,1)$方向のベクトルと垂直な平面。
で、$x+y+z=0$は、正八面体の真ん中を通るので体積は正八面体の半分になる。
この問題は体積ではなく、表面積を問われている。
ただし表面積は、正三角形$8$個の半分の$4$個と切り口の面積なので切り口の形から考えていく。
($4$個は深く考えてないが、中心で分けたら対称になるだろうし、たぶん大丈夫。)
切り口の$x+y+z=0$は、たぶん$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$を通る平面と$(-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)$を通る平面のちょうど中間にある気がする。
正八面体の辺の数は$12$本。
上記の$2$つの三角形の辺の数$6$本を引くと、残り$6$本。
これは正六角形になる予感。
一辺は正三角形の一辺の半分の$\frac{\sqrt{2}}{2}$。なので正三角形$1$つの$\frac{3}{2}$倍の面積。
(ここまで何も根拠なしの思い込みで来てる。)
したがって、表面積は正三角形の面積$×(4+\frac{3}{2})$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{11}{2}$
$=\frac{11\sqrt{3}}{4}$
$=\sqrt{\frac{363}{16}}$
$a+b=363+16=379$
一応、根拠がないまま正解してしまったので、解説を確認したが、何を言っているのか理解できず、ユーザー解説に至ってはこの記事とまったく同じことをしていた。(この解き方が正しいかどうかの根拠は示されていなかった。)