ChatGPTで今回OKです。

使い方注意報？別件で解が違う事例があります。
(以下1行ずつです）グラフはmatplotlibを使え。でした。

4*cos(θ)**2-4*sin(θ)-5 最小値
4*cos(θ)**2-4*sin(θ)-5 最小値とグラフ

(以下抜粋）
前の回答で求めたとおり、...
import matplotlib.pyplot as plt

Mathematicaで

IN
MinValue[{4*Cos[\[Theta]]^2 - 4*Sin[\[Theta]] - 5}, {\[Theta]}]
ArgMin[{4*Cos[\[Theta]]^2 - 4*Sin[\[Theta]] - 5}, {\[Theta]}]
Simplify[
 MinValue[{4*Cos[\[Theta]]^2 - 4*Sin[\[Theta]] - 5}, {\[Theta]}]]
Simplify[ArgMin[{4*Cos[\[Theta]]^2 - 4*Sin[\[Theta]] - 5}, {\[Theta]}]]
Plot[{4*Cos[\[Theta]]^2 - 4*Sin[\[Theta]] - 5}, {\[Theta], -10, 10}]

Out
-9
{-((95 \[Pi])/2)}
-9
{-((95 \[Pi])/2)}

WolframAlphaで

θ-yのグラフがでます。

sympyで(福田の数学様の方法を参考に)

変数sinθをtと置く
completing the square(平方完成)は、以下の計算に使っていません。出力のみ。
asin関数を使っていません。範囲のため、solveset関数にしました。

from sympy import *
θ    =symbols('θ'    ,Real=True)
t    =symbols('t'    ,Real=True)
x,h,k=symbols('x,h,k',Real=True)
def myHeihokansei(f,t):
    g = Poly(f).all_coeffs()[0]*( t - h )**2 + k
    ans=solve( f - g, [ h, k ] ) 
    ff=Poly(f).all_coeffs()[0]*(t-ans[0][0])**2+ans[0][1]
    return ff
y=4*cos(θ)**2-4*sin(θ)-5
mySubs    ={sin(θ):t}
myInterval=Interval(-1,1)
f=y.simplify().expand().subs(mySubs)
f_min=minimum(f,t,myInterval)
t_min=solveset(Eq(f,f_min),t,myInterval).args[0]
print("#",f)
print("#",myHeihokansei(f,t))
print("#",t_min,f_min)
θ_min=solveset(Eq(sin(θ),t_min),θ,Interval(0,2*pi))
print("#",θ_min.args[0],"+2nπ(n:整数)")
print()
f_max=maximum(f,t,myInterval)
t_max=solveset(Eq(f,f_max),t,myInterval).args[0]
print("#",t_max,f_max)
print("# ???",asin(t_max))
θ_max=solveset(Eq(sin(θ),t_max),θ,Interval(0,2*pi))
print("# ",θ_max.args[0],"+2nπ(n:整数)")
print("#" ,θ_max.args[1],"+2nπ(n:整数)")
plot( (f,(t,-3,3)), (f,(t,-1,1)) )
plot(y)
# -4*t**2 - 4*t - 1
# -4*(t + 1/2)**2
# 1 -9
# pi/2 +2nπ(n:整数)
# ??? -pi/6
# -1/2 0
#  7*pi/6 +2nπ(n:整数)
# 11*pi/6 +2nπ(n:整数)

θ-f 点のプロットの方法を勉強中です。グラフを重ねています。

θ-y

sympyで(θのminimum関数を使って)

~~# sympyで(sympy的?安易なやり方)~~

from sympy import *
θ=symbols('θ',Real=True)
print("#",minimum(4*cos(θ)**2-4*sin(θ)-5,θ))
# -9

xxxx sympyで(うまくいきませんでした。)

参考にθを求めなさい。
Iがでました。

from sympy import *
θ=symbols('θ',Real=True)
y=4*cos(θ)**2-4*sin(θ)-5
plot(y)
y_min=minimum(y,θ)
y_max=maximum(y,θ)
θ_min=solve(Eq(y,y_min),θ)
θ_max=solve(Eq(y,y_max),θ)
print("#",θ_min,y_min)
print("#",θ_max,y_max)
# [pi/2, -2*atan(1/2 - sqrt(3)*I/2), -2*atan(1/2 + sqrt(3)*I/2)] -9
# [-5*pi/6, -pi/6] 0

sympyの実行環境

①私の環境は,pycharmです。
②よく聞くのは、Jupyterです。
③web上で、上記のソースを「SymPy Live shell」に、コピー貼り付けでもできました。
黒背景の右上に、マウスを移動すると、コピーマークが発生します。
???　タブレット環境で、コピー貼り付けが実行できませんでした。???

参考

以下、いつもの?おすすめです。