オイラー座屈を教えて下さい。
オイラー座屈の計算式を証明して下さい。
オイラー座屈の証明を微分方程式で教えて下さい。
オイラー座屈の証明を微分方程式で、sympyのソースコードで教えて下さい。
Gemini先生へ
(回答抜粋)
...証明の難しさ
オイラー座屈の証明は、数学的に厳密に行うためには、以下の知識が必要です。
・微分方程式: 常微分方程式の解法、特に境界値問題
・変分法: 関数の極値問題を扱う数学の分野
・行列: 固有値問題を解くための行列の理論
...
from sympy import *
# 変数の定義
x = symbols('x')
w = Function('w')(x)
E, I, P, L = symbols('E I P L', positive=True)
# 微分方程式の定義
diffeq = Eq(E*w.diff(x, x) + P*w, 0)
print(diffeq)
# 一般解
sol = dsolve(diffeq, w)
print(sol)
# 境界条件を適用
C1 = symbols('C1')
C2 = symbols('C2')
sol = sol.subs(w.subs(x, 0), 0).subs(w.subs(x, L), 0)
print(sol)
# 座屈荷重を求める
from sympy.solvers import solve
eq = sol.args[1].args[1]
sol_P = solve(eq, P)
print(sol_P)
このコードを実行すると、以下の様な結果が得られます。
Eq(E*Derivative(w(x), (x, 2)) + P*w(x), 0)
Eq(w(x), (C1*sin(sqrt(P/E)*x))/sqrt(P/E) + C2*cos(sqrt(P/E)*x))
Eq(0, C2) & Eq(0, C1*sin(sqrt(P/E)*L)/sqrt(P/E))
[Eq(P, E*pi**2*n**2/L**2)] # nは任意の整数
私のvscodeの結果
Eq(E*Derivative(w(x), (x, 2)) + P*w(x), 0)
Eq(w(x), C1*sin(sqrt(P)*x/sqrt(E)) + C2*cos(sqrt(P)*x/sqrt(E)))
Eq(w(x), C1*sin(sqrt(P)*x/sqrt(E)) + C2*cos(sqrt(P)*x/sqrt(E)))
[pi**2*E/(4*x**2), 9*pi**2*E/(4*x**2)]
ChatGPT先生へ
copilot先生へ
いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。
いつもと違うおすすめです。
wikipedia
＞Plate buckling
＞支配方程式
Qiita