「2変数2階偏微分方程式の標準形への変形法を教えて下さい。」をAI先生に聞きました。sympyのソースコードで。

(本日の)ChatGPT先生へ

質問リスト

# 質問リスト
1. 2変数2階偏微分方程式の標準形への変形法を教えて下さい。
2. 波動方程式をsympy のソースコードで教えて下さい。
3. グラフ表示を教えて下さい。
4. アニメーションを教えて下さい。
5. 私の質問をMarkdown形式でリスト化して出力して。Markdown形式でリストからアスタリスクは削除して。1行目に、# 質問リスト の文字を出力して。最後の質問も追加して下さい。追番を追加して下さい。Markdown形式で。

(回答抜粋)

1. 一般形の2変数2階線形偏微分方程式
2. 分類（判別式）
   ・楕円型（Elliptic）：  $D < 0$（例：ラプラス方程式）
   ・放物型（Parabolic）： $D = 0$（例：熱方程式）
   ・双曲型（Hyperbolic）： $D > 0$（例：波動方程式）
3. 標準形への変換
4. 例（波動方程式）
   SymPy を使って 1次元波動方程式 を表現し、変数変換して標準形に変えるソースコードは以下の通りです。

from sympy import symbols, Function, diff, simplify
from sympy.abc import x, t

# 1. 未知関数 u(x, t)
u = Function('u')(x, t)

# 2. 波動方程式の定義: ∂²u/∂t² - c²∂²u/∂x² = 0
c = symbols('c', positive=True)
wave_eq = diff(u, t, 2) - c**2 * diff(u, x, 2)

print("波動方程式:")
print(wave_eq)

■ 変数変換：ξ = x - ct, η = x + ct による標準形への変換

# 3. 新しい変数の定義
xi, eta = symbols('xi eta')
u_new = Function('U')(xi, eta)  # U(ξ,η)

# 4. x = (η + ξ)/2, t = (η - ξ)/(2c) による逆変換
x_expr = (eta + xi)/2
t_expr = (eta - xi)/(2*c)

# 5. u(x,t) を U(ξ,η) で表現
# ∂²u/∂t² - c²∂²u/∂x² を ξ, η に変換
from sympy import diff

# U(ξ,η) を x, t に引き戻して連鎖律適用
Ux = diff(u_new.subs({xi: x - c*t, eta: x + c*t}), x, 2)
Ut = diff(u_new.subs({xi: x - c*t, eta: x + c*t}), t, 2)
wave_transformed = simplify(Ut - c**2 * Ux)

print("\n変数変換後の波動方程式（標準形）:")
print(wave_transformed)

出力例（簡略化）：

波動方程式:
Derivative(u(x, t), t, t) - c**2*Derivative(u(x, t), x, x)

変数変換後の波動方程式（標準形）:
4*c**2*Derivative(U(x - c*t, x + c*t), (x - c*t), (x + c*t))

...
■ 波動方程式の解のアニメーション（Pythonコード）
(省略)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

# パラメータ
c = 1.0  # 波の速さ
x = np.linspace(-10, 10, 400)  # 空間範囲
t_max = 10  # アニメーションの長さ（時間）
frames = 100  # フレーム数

# 波動方程式の具体解（例）：u(x,t) = sin(x - ct) + cos(x + ct)
def u(x, t):
    return np.sin(x - c * t) + np.cos(x + c * t)

# グラフの初期設定
fig, ax = plt.subplots()
line, = ax.plot(x, u(x, 0))
ax.set_ylim(-2, 2)
ax.set_xlim(x[0], x[-1])
ax.set_title("波動方程式のアニメーション")
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("u(x, t)")
ax.grid(True)

# フレームごとの更新関数
def update(frame):
    t = t_max * frame / frames
    line.set_ydata(u(x, t))
    ax.set_title(f"t = {t:.2f}")
    return line,

# アニメーション作成
ani = FuncAnimation(fig, update, frames=frames, blit=True, interval=50)

plt.show()

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いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。

(テンプレート)

いつもと違うおすすめです。

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