(1+sinθ)/(2+cosθ)最大値/最小値「良問再来！絶対に解けてほしい有名問題」をChatGPTとMathematicaとWolframAlphaとsympyとFreeCADでやってみたい。

WolframAlphaで、θのグラフがでます。

オリジナル(youtube)PASSLABO様より

(2023/07/21)

xxxx ChatGPT で(できませんでした。) xxx

入力文

0<=θ<=πであるθに対して(1+sinθ)/(2+cosθ)の最大値、最小値を求めよ

Mathematicaで

**Simplifyが必要でした。**
in:
Simplify[ 
 Maximize[(1 + Sin[\[Theta]])/(2 + Cos[\[Theta]]), 
  0 <= \[Theta] <= \[Pi], \[Theta]] ]
Simplify[
 Minimize[(1 + Sin[\[Theta]])/(2 + Cos[\[Theta]]), 
  0 <= \[Theta] <= \[Pi], \[Theta]]]

out:
{4/3, {\[Theta] -> 2 ArcTan[3]}}
{1/3, {\[Theta] -> 0}}

#### Simplifyがなかったら

In:
Maximize[(1 + Sin[\[Theta]])/(2 + Cos[\[Theta]]), 
 0 <= \[Theta] <= \[Pi], \[Theta]]

out:
{(1 + Sin[2 ArcTan[3]])/(
 2 + Cos[2 ArcTan[3]]), {\[Theta] -> 2 ArcTan[3]}}

作図

Plot[(1 + Sin[\[Theta]])/(2 + Cos[\[Theta]]), {\[Theta], 0, \[Pi]}]

WolframAlphaで

θのグラフがでます。

最大値の角度θ(単位はdegree)です。

結果 143.1° (度)

以下の、値域を使った方が、楽かもしれません。

上の英語版

sympyで計算だけ(PASSLABO様のやり方)図形的にとらえてみた。

教えて下さい。以下は、無理矢理感があります。

from sympy import *
θ    =symbols('θ'    ,Real=True)
px,py=symbols('px,py',Real=True)
ax,ay=symbols('ax,ay',Real=True)
st,en=0,pi
f=(1+sin(θ))/(2+cos(θ))
A=Point(ax,ay)
P=Point(px,py)
m=Line(A,P).slope
mySubs={px:cos(θ),py:sin(θ),ax:-2,ay:-1}
A_subs=A.subs(mySubs).simplify()
P_subs=P.subs(mySubs).simplify()
m_subs=m.subs(mySubs).simplify()
print("#",m_subs)
print("#",m_subs.subs({θ: solveset( Eq(Line(A_subs,P_subs).distance(Point(0,0)),1 ),
                                       θ,Interval(st,en)).args[0]        
                      }),
          m_subs.subs({θ:0}))
# (sin(θ) + 1)/(cos(θ) + 2)
# 4/3 1/3

sympyで計算だけ(sympy的?安易なやり方)

maximumとminimum関数でやってみました。

from sympy import *
θ=symbols('θ',Real=True)
f=(1+sin(θ))/(2+cos(θ))
st,en=0,pi
print( "#",maximum(f,θ,Interval(st,en)),minimum(f,θ,Interval(st,en)))
# 4/3 1/3

sympyで計算だけ(微分で解く方法)cosθ=xと置換していません。

diff関数でやってみました。

from sympy import *
θ=symbols('θ',Real=True)
f=(1+sin(θ))/(2+cos(θ))
st,en=0,pi
print("#",f.subs({θ: solveset(diff(f),θ,Interval(st,en)).args[0] }) ,
          min(f.subs({θ:0}),f.subs({θ:pi})) ) 
plot(f,(θ,0,pi))
# 4/3 1/3

sympyで計算だけ(微分で解く方法)cosθ=xと置換する。

勉強中。

FreeCADで作図

勉強中。

実行環境

1. 私の環境は,pycharmです。
2. よく聞くのは、Jupyterです。
3. web上で、上記のソースを「SymPy Live shell」に、コピー貼り付けでもできました。
   黒背景の右上に、マウスを移動すると、コピーマークが発生します。
   ???　タブレット環境で、コピー貼り付けが実行できませんでした。???

参考

以下、増減表作成プログラムについて、調査中。

以下は、私のおすすめです。

＞(参考)Wolfram Alpha による数式処理マニュアル＜大分大学 理工学部 数理科学コース