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@mrrclb48z

高校入試平面図形 相似「2024 大阪府高校入試 数学C大問２」をsympyとFreeCADでやってみたい。

Last updated at Posted at 2024-03-16

最初に

私の解答の方法は、中学生の学習指導要領の範囲外です。
長文です。
アドバイスをいただけると幸いです。いつもの? ベクトル成分表示です。

・最初、私は 「円周角、相似、直角三角形,二等辺三角形」 をわからず、
　sympyでver0.1小問(2) を作成しました。
・youtube　ニッキーランド 様を何回も視聴しました。
　sympyでver0.２小問(1)(2) を作成しました。
・相似を勉強して、ver0.1小問(1)相似を追加して仕上げました。
・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。

私は今回、相似も円周角も直角三角形二等辺三角形もわかっていないのに、
sympyの威力を再確認できました。
(問題文通りに入力です。例.大学入試問題は、chatgpt,mathmlの読み込みです。)
ありがとうございました。

オリジナル

PDF

大問2
https://www.toshin.com/koukou_nyushi/files/2024/sugaku_q/osaka_sugaku_q.pdf#page=14
＜2024年全国公立高校入試解答速報｜大学受験の予備校・塾 東進
https://www.toshin.com/koukou_nyushi/

youtube

大ヒーント

三角形オールスター?
以下は、ニッキーランド 様を抜粋
＞情報が1個増えてます。
＞大体これを使います。
＞恐らくこれを使っていませんので、これを使うんじゃないかなあ。
＞数学的...
＞ここの直角三角形を使うんじゃないかなあ。
＞あとは、ここだけほしい。
＞もう見えてきましたね。
＞この発見が難しい。
＞注目して下さい。

大手 様より
＞難易度は昨年度並み
???毎年どんな問題がでているのでしょうか？私の勉強不足です。

ニッキーランド 様

youtube (08:51)

sympyで(オリジナル 様の方法で)

・ver0.２ もっとEq,solveを使った方がよかったです。

# ver0.２
from sympy import *
var('a,θ,DBC,FO',real=True,positive=True)
BC=4
R =Rational(BC/2)
DOB=θ ;BOA=2*θ;BCA=θ;ECA=BCA
DBO=DBC;DAC=DBC ;EAC=DAC
BE =1
EC =BC-BE
AC =EC
AB =sqrt(BC**2-AC**2)
FCO=ECA
FOC=DOB 
OA =R 
OC =R 
FO =solve(Eq(AC/OA,OC/FO),FO)[0]
FC =FO
AF =AC-FC
BF =sqrt(AB**2+AF**2)
print("#(1)①",pi*R**2*a*Rational(1,360))
print("#(1)➁",Eq(DOB,ECA),Eq(DBO,EAC))
print("#(2)①",AB)
print("#(2)➁",BF)
#(1)① pi*a/90
#(1)➁ True True
#(2)① sqrt(7)
#(2)➁ 2*sqrt(22)/3

sympyで(いつもの方法で)

・ver0.1
・相似
sympy.geometry.util.are_similar(e1, e2)
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/utils.html#sympy.geometry.util.are_similar
・solveをsolvesetにしました。
・are_similarは、sssにしました。

from sympy import *
var('a',real=True,positive=True)
BC=4
R =Rational(BC/2)
O=Point( 0,0)
C=Point( R,0)   
D=Point( R*cos((360-a)/180*pi),R*sin((360-a)/180*pi))            
B=Point(-R,0)            
A=Point( R*cos((360-a-(180-a)*3)/180*pi),R*sin( (360-a-(180-a)*3)/180*pi))            
E=Line (B,C).intersection(Line(A,D))[0] 
#  
print("#(1)①",pi*R**2*a*Rational(1,360))
print("#(1)➁ error",are_similar(Triangle(B,D,O),Triangle(A,E,C) ))
print("#(1)➁ ok   ",are_similar(Triangle( sss=(B.distance(D),D.distance(O),B.distance(B) )),
                                 Triangle( sss=(B.distance(D),D.distance(O),B.distance(B) ) )))
# 
BE=1
rep={a:solveset(Eq(B.distance(E),BE),a,Interval(0,180)).args[0]}           
A=A.subs(rep).simplify()
B=B.subs(rep).simplify()
F=Line(A,C).intersection(Line(D,O))[0].subs(rep).simplify()
print("#(2)➀",A.distance(B).simplify())
print("#(2)➁",B.distance(F).simplify())
# 
# #(1)① pi*a/90
# #(1)➁ error False
# #(1)➁ ok    True
# #(2)➀ sqrt(7)
# #(2)➁ 2*sqrt(22)/3
# [Done] exited with code=0 in 58.741 seconds

D=A.subs(rep).simplify()
E=B.subs(rep).simplify()

FreeCADのマクロで作図

・計算部分は、コピー貼り付けです。
・実行時間は、約３分です。

import FreeCAD
import Part
import DraftTools
import Draft
import Mesh
############################################################################
# 計算
from sympy import *
var('a',real=True,positive=True)
BC=4
R =Rational(BC/2)
O=Point( 0,0)
C=Point( R,0)   
D=Point( R*cos((360-a)/180*pi),R*sin((360-a)/180*pi))            
B=Point(-R,0)            
A=Point( R*cos((360-a-(180-a)*3)/180*pi),R*sin( (360-a-(180-a)*3)/180*pi))            
E=Line (B,C).intersection(Line(A,D))[0] 
#  
print("#(1)①",pi*R**2*a*Rational(1,360))
print("#(1)➁ error",are_similar(Triangle(B,D,O),Triangle(A,E,C) ))
print("#(1)➁ ok   ",are_similar(Triangle( sss=(B.distance(D),D.distance(O),B.distance(B) )),
                                 Triangle( sss=(B.distance(D),D.distance(O),B.distance(B) ) )))
# 
BE=1
rep={a:solveset(Eq(B.distance(E),BE),a,Interval(0,180)).args[0]}           
A=A.subs(rep).simplify()
B=B.subs(rep).simplify()
F=Line(A,C).intersection(Line(D,O))[0].subs(rep).simplify()
print("#(2)➀",A.distance(B).simplify())
print("#(2)➁",B.distance(F).simplify())
# 
# #(1)① pi*a/90
# #(1)➁ error False
# #(1)➁ ok    True
# #(2)➀ sqrt(7)
# #(2)➁ 2*sqrt(22)/3
# [Done] exited with code=0 in 58.741 seconds

D=A.subs(rep).simplify()
E=B.subs(rep).simplify()
############################################################################
# 作図用
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
############################################################################
# 円の作図　FrecCADのdocより
# https://wiki.freecad.org/Macro_Circle
def Freecad3D_circle(x=0.0,y=0.0,z=0.0,radius=0.0,diameter=0.0,circumference=0.0,area=0.0,startangle=0.0,endangle=0.0,arc=0.0,anglecenter=0.0,cord=0.0,arrow=0.0,center=0,placemObject=""):
    from math import sqrt, pi
    if placemObject == "":
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl.Rotation = FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveView.getCameraOrientation()   
        pl.Base = FreeCAD.Vector(x,y,z)
    else:
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl = placemObject                                  # placement imposted
    if diameter != 0:                                      # with diameter
        radius = diameter / 2.0
    elif circumference != 0:                               # with circumference
        radius = (circumference / pi) / 2.0
    elif area != 0:                                        # with area
        radius =  sqrt((area / pi))
    elif (cord != 0) and (arrow != 0):                     # with cord and arrow
        radius = ((arrow**2) + (cord**2) / 4.0) / (arrow*2) 
    elif (arc != 0) and (anglecenter != 0):                # with arc and anglecenter central in degrees
        radius = ((360/anglecenter)*arc) / pi/2.0
        if endangle != 0:
            startangle  = endangle - anglecenter
        endangle   = anglecenter + startangle
        startangle  = endangle - anglecenter
    if radius != 0:
        try:
            Draft.makeCircle(radius,placement=pl,face=False,startangle=startangle,endangle=endangle,support=None)
            if center != 0:
                x=pl.Base.x
                y=pl.Base.y
                z=pl.Base.z
                Draft.makePoint(x,y,z)
        except Exception:
            App.Console.PrintError("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.ActiveDocument.recompute()
    else:
        App.Console.PrintMessage("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(x,y,z,radius,diameter,circumference,area,startangle,endangle,[arc,anglecenter],[cord,arrow],center,placemObject)" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(radius=10.0,placemObject=App.Placement(App.Vector(11,20,30), App.Rotation(30,40,0), App.Vector(0,0,0)))" + "\n")
    return
def myCircle_2D(myCi):
    x=myCi.center.x
    y=myCi.center.y
    r=myCi.radius
    Freecad3D_circle(
           x=float(x),y=float(y),z=0.0,
           radius=float(abs(r)),
           center=1,
           placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
           App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
    return
############################################################################
def myXYZ2Txt_2D(A):
   # return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) +  ')'
    return ""
def myTxtXYZ_2D(A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.3 mm'
    return
def myTxtXYZ_S_2D(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myLine_2D(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_S_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    return
def myLine_C_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    myLine_2D(args[i],args[0])
    return
#######################################################################################
myLine_C_2D  (B,A,C)
myLine_C_2D  (O,D,A)
myLine_S_2D  (B,D)
myLine_S_2D  (O,F,B)
myTxtXYZ_S_2D(O,"O",A,"A",B,"B",C,"C",D,"D",E,"E",F,"F")
myCircle_2D      (Circle(Point(0, 0), R)) 
#######################################################################################
doc = App.activeDocument()
App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
App.ActiveDocument.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")

・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。
・isometric方向です。

1.png

・上空からです。拡大図
・Originは、マウス操作で非表示です。
・寸法、角度表示勉強中です。

3.png

いつもの? sympyの実行環境と 参考のおすすめです。

(テンプレート)

いつもと違うおすすめです。

円周角を勉強中

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