・log(x)/x^xのグラフがでます。
・(3)から怪しいです。
オリジナル(youtube 11:23) MathLABO 様より
上と同じです。大学入試数学問題集成＞医学部【９】テキスト
ChatGPT-3.5先生へ(???(2)(3)難しくて、私はわかりませんでした。。???)
入力文(一括です。)
f(x)=log(x)/x**x
(1) f(x)を微分せよ.
(2) f(x)がx=aで極値をとるならば、a<√3であることを示せ.
(3) √３^(√５^(√５))と√５^(√3^(√3))の大小を比較せよ.
返信抜粋
(1)...。f'(x) = (1/x^2) + x^x * log(x) * (1 + log(x))
？？？(2)難しくて、私はわかりませんでした。
？？？(3) ...具体的な比較は、√5^(√5) と √3^(√3) の大小に依存します。
WolframAlphaで
(1)(2)プロット(グラフ)がでます
極大値 x≈1.5591 のとき, max{log(x)/x^x}≈0.22222
導関数 d/dx(log(x)/x^x) = -x^(-x - 1) (x log^2(x) + x log(x) - 1)
極限 ０
(3)数直線がでます。赤丸です。
最大値 sqrt(3)^(sqrt(5)^sqrt(5)) = 3^(5^(sqrt(5)/2)/2)
小数近似 {27.6918, 8.03446}
sympyで(MathLABO 様の方法を参考に)
＞累乗の大小評価を見たら、両辺のlogをとる！
＞同じ仲間でグループ分け
＞指数の大小評価
＞大小評価の場合は、同じ仲間でグループ分けする。
＞√3組と√5組で分ける
＞x≧√3と設定する。
・log3>1の使い方がわからなかったので、minimum関数にしました。
・(3)から怪しくなってきました。
・sympy.calculus.util.minimum(f, symbol, domain=Reals)
Returns the minimum value of a function in the given domain.
https://docs.sympy.org/latest/modules/calculus/index.html#sympy.calculus.util.minimum
from sympy import *
var('x',real=True,nonnegative=True)
y =log(x)/x**x
yd=factor( diff(y) )
numer_yd_1_m =factor( (numer(yd)-1)*(-1) )
min_numer_yd_1_m=minimum( numer_yd_1_m ,x,Interval.Ropen(sqrt(3),oo))
(Sahen3 ,Uhen5 )=(sqrt(3) ,sqrt(5) )
(Sahen55,Uhen33)=(sqrt(5)**sqrt(5),
sqrt(3)**sqrt(3) )
#
print("#(1) ",yd)
print("#(2) ",min_numer_yd_1_m>1, float( min_numer_yd_1_m ))
print("#(2) yd<0 ")
print("#(3A)",Sahen3** Sahen55 ,",",5*" ",Uhen5** Uhen33 )
print("#(3B)",Sahen55*log(Sahen3),"," ,Uhen33*log(Uhen5) )
print("#(3C)",log(Sahen3)/Uhen33 ,"," ,log(Uhen5)/Sahen55 )
print("#(3D)",y.subs({x:sqrt(3)}),">" ,y.subs({x:sqrt(5)}) )
#(1) -(x*log(x)**2 + x*log(x) - 1)/(x*x**x)
#(2) True 1.4740503814638084
#(2) yd<0
#(3A) 3**(5**(sqrt(5)/2)/2) , 5**(3**(sqrt(3)/2)/2)
#(3B) 5**(sqrt(5)/2)*log(sqrt(3)) , 3**(sqrt(3)/2)*log(sqrt(5))
#(3C) log(sqrt(3))/3**(sqrt(3)/2) , log(sqrt(5))/5**(sqrt(5)/2)
#(3D) log(sqrt(3))/3**(sqrt(3)/2) > log(sqrt(5))/5**(sqrt(5)/2)
sympyで(いつものスタイルで)
・(2)エラーがでました。
・(2)エラーを直しました。(2023/09/20)ｘの定義域を直しました。
コメントで教えてもらいました。ありがとうございました。
・(3)GtでTrueです。
・sympy.core.relational.Gt
alias of StrictGreaterThan
https://docs.sympy.org/latest/modules/core.html#sympy.core.relational.Gt
・Solveset
https://docs.sympy.org/latest/modules/solvers/solveset.html#solveset
from sympy import *
var('x',real=True,nonnegative=True)
(st,en)=(0,oo)
y =log(x)/x**x
yd=diff(y)
print("#(1)",yd)
print("#(2)",solveset(yd,x,Interval.Lopen(st,en)) )
print("#(3)",Gt( sqrt(3)**(sqrt(5)**(sqrt(5)) ),
sqrt(5)**(sqrt(3)**(sqrt(3))) )
)
#(1) (-log(x) - 1)*log(x)/x**x + 1/(x*x**x)
#(2) Complement(ConditionSet(x, Eq(-x*log(x)**2 - x*log(x) + 1, 0), Interval.open(0, oo)), ConditionSet(x, Eq(x*x**x, 0), Interval.open(0, oo)))
#(3) True
#
# ?以下 <string>:1: RuntimeWarning でます。
# ○以下 <string>:1: RuntimeWarning 直しました。(2023/09/20)
(st,en)=(-6,6)
plot(y,
# (x,st,en), # (2023/09/20) ↓
(x,1e-10,en),
xlim=(st,en),ylim=(st,en),
aspect_ratio=(1.0,1.0)
)
y =log(x)/x**x √3から√5へ単調減少です。
sympyの実行環境
①私の環境は,pycharmです。
②よく聞くのは、Jupyterです。
③web上で、上記のソースを「SymPy Live shell」に、コピー貼り付けでもできました。
黒背景の右上に、マウスを移動すると、コピーマークが発生します。
??? タブレット環境で、コピー貼り付けが実行できませんでした。???
参考
以下、いつもの?おすすめです。