sympyで(みなさんの模範解答を待ってます。)!

sympyで(sympy的?安易なやり方)

座標計算です。
・点Bの座標は、円と円の交点計算です。
・点Cの座標は、3球面の交点計算です。
・(4)について、角度が難しかったので、垂線の足を2倍に伸ばしました。
・教えて下さい。sympyのcoordinatesのかっこの外し方がわかりませんでした。

from sympy import *
var('x y z')
var('u v w')
def myABC(OQ, OA,OB,OC):
    return solve([
                  Eq(OQ.x,u*OA.x+v*OB.x+w*OC.x),
                  Eq(OQ.y,u*OA.y+v*OB.y+w*OC.y),
                  Eq(OQ.z,u*OA.z+v*OB.z+w*OC.z)
                 ],
                 [u,v,w])
def mySphereFormula(myP,myR):
    return ((x-myP.x)**2+(y-myP.y)**2+(z-myP.z)**2-myR**2).expand()
def myMenseki3D(O,A,B):
    P=A-O
    Q=B-O
    return Rational(1, 2) * sqrt(P.distance(Point(0, 0, 0)) ** 2 * Q.distance(Point(0, 0, 0)) ** 2 \
                                 - P.dot(Q) ** 2).simplify()
OA=BC=5
OB=AC=7
OC=AB=8
O=Point3D(0    ,0    ,0)
A=Point3D(OA   ,0    ,0)
Bxy=Circle(O,OB).intersection(Circle(A,AB))[1]
#B =Point(Bxy.coordinates[0],Bxy.coordinates[1],0)
B  =Point(Bxy.x,Bxy.y,0)
dum,Cxyz=solve([mySphereFormula(O,OC),
                mySphereFormula(A,AC),
                mySphereFormula(B,BC)],
               [x,y,z]
              )
C=Point(Cxyz)
print("#(1)",(A-O).dot(B-O),
             (B-O).dot(C-O),
             (C-O).dot(A-O)
     )
H=Plane(O,A,B).projection(C)
print("#(2)",myABC( (H-O), (A-O),(B-O),(C-O)) )
K=Line(O,A).projection(B)
print("#(3)",O.distance(K)/O.distance(A)) 
B_OA=Line(O,A).projection(B)
D=Line(A,B+(B_OA-B)*2).intersection(Line(O,H))[0]
print("#(4)",O.distance(D)/O.distance(H)) 
#(1) 5 44 20
#(2) {u: 19/30, v: 5/6, w: 0}
#(3) 1/5
#(4) 15/2

①私の環境は,pycharmです。
②よく聞くのは、Jupyterです。
③web上で、上記のソースを「SymPy Live shell」に、コピー貼り付けでもできました。
黒背景の右上に、マウスを移動すると、コピーマークが発生します。
計算時間は約1分です。資源の無駄使い。ごめんなさい。

FreeCADのマクロで作図

import FreeCAD
import Part
import Draft
import Mesh
#########################################################################################################
# 計算
from sympy import *
var('x y z')
var('u v w')
def myABC(OQ, OA,OB,OC):
    return solve([
                  Eq(OQ.x,u*OA.x+v*OB.x+w*OC.x),
                  Eq(OQ.y,u*OA.y+v*OB.y+w*OC.y),
                  Eq(OQ.z,u*OA.z+v*OB.z+w*OC.z)
                 ],
                 [u,v,w])
def mySphereFormula(myP,myR):
    return ((x-myP.x)**2+(y-myP.y)**2+(z-myP.z)**2-myR**2).expand()
def myMenseki3D(O,A,B):
    P=A-O
    Q=B-O
    return Rational(1, 2) * sqrt(P.distance(Point(0, 0, 0)) ** 2 * Q.distance(Point(0, 0, 0)) ** 2 \
                                 - P.dot(Q) ** 2).simplify()
OA=BC=5
OB=AC=7
OC=AB=8
O=Point3D(0    ,0    ,0)
A=Point3D(OA   ,0    ,0)
Bxy=Circle(O,OB).intersection(Circle(A,AB))[1]
#B =Point(Bxy.coordinates[0],Bxy.coordinates[1],0)
B  =Point(Bxy.x,Bxy.y,0)
dum,Cxyz=solve([mySphereFormula(O,OC),
                mySphereFormula(A,AC),
                mySphereFormula(B,BC)],
               [x,y,z]
              )
C=Point(Cxyz)
print("#(1)",(A-O).dot(B-O),
             (B-O).dot(C-O),
             (C-O).dot(A-O)
     )
H=Plane(O,A,B).projection(C)
print("#(2)",myABC( (H-O), (A-O),(B-O),(C-O)) )
K=Line(O,A).projection(B)
print("#(3)",O.distance(K)/O.distance(A)) 
B_OA=Line(O,A).projection(B)
D=Line(A,B+(B_OA-B)*2).intersection(Line(O,H))[0]
print("#(4)",O.distance(D)/O.distance(H)) 
##########################################################################################################
### 作図用
##########################################################################################################
### 3D作図
def myXYZ2Txt(A):
    return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) + ',' + str(A.z) + ')'
def myTxtXYZ(A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=float(A.z)
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.4 mm'
    return
def myTxtXYZ_S(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myLine(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),float(A.z)
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),float(B.z)
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_S(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine(args[i-1],args[i])
    return
def myLine_C(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine(args[i-1],args[i])
    myLine(args[i],args[0])
    return
def myLine_H(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine(args[0],args[i])
    return
#
myLine_C  (O,A,B)
myLine_H  (C, O,A,B)
myLine    (B,K)
myLine    (C,H)
myLine    (O,D)
myLine    (O,H)
myLine    (O,K)
myTxtXYZ_S(O,"O",A,"A",B,"B",C,"C",D,"D",H,"H",K,"K")
#
doc = App.activeDocument()
App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
App.ActiveDocument.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")

isometric方向です。

上図の拡大図です。
Originは、非表示です。マウス操作で、線分と文字を赤色にしました。

参考

この名古屋工業大学の問題と岐阜大学の問題は、似ていると思いました。

The intersection of this circle with another geometrical entity.

Project the given point onto the plane along the plane normal.

Returns the two coordinates of the Point.