wikipediaで誰も?見た事のない公式を見つけました。
Tangent half-angle formula
(see tangent half-angle formula).

wikipedia で

WolframAlpha で

勉強中

sympy で

＞証明
https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_tangents#Proof

from sympy import *
from sympy.simplify.fu import TR8,TR9
a,b,d=symbols('a,b,d',real=True)
α,β=symbols('α,β',real=True)
f =(a-b)/(a+b)
f1=f.subs({a:d*sin(α),b:d*sin(β)}).simplify()
print("#",f1)
print("#",TR9(TR8(f1)).simplify())
# (sin(α) - sin(β))/(sin(α) + sin(β))
# tan(α/2 - β/2)/tan(α/2 + β/2)

？ https://www.deepl.com/ja/translator#ja/en/信じる者は救われる

過去問

"正接定理"の探し方を教えて下さい。見当たりませんでした。
＜大学入試数学問題集成

一致する結果はありません

site:kamelink.com "正接定理"との一致はありません。

site://mathmathmass.exblog.jp "正接定理"との一致はありません。

参考

＞正接とはタンジェントのことです。役に立つ公式ではありませんが，けっこうきれいです。
＞ただ，全く役に立たないので高校数学では習いません。