読売新聞
https://www.yomiuri.co.jp//nyushi/sokuho/k_mondaitokaitou/nagoya/mondai/img/nagoya_zenki_sugaku_ri_mon.pdf
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wolframalpha
(1) わかりませんでした。
Integrate[1/cos(x),{x,0,pi/3}]
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B1%2Fcos(x),%7Bx,0,pi%2F3%7D%5D
integral_0^(π/3) 1/cos(x) dx = 2 coth^(-1)(sqrt(3))?1.3170
2 ArcCoth[Sqrt[3]]

(2) わかりませんでした。
Integrate[1/cos(x)**n,{x,0,pi/3}]
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B1%2Fcos(x)**n,%7Bx,0,pi%2F3%7D%5D
((Sqrt[Pi] Gamma[1/2 - n/2])/Gamma[1 - n/2] + (2^n Hypergeometric2F1[1/2, (1 - n)/2, (3 - n)/2, 1/4])/(-1 + n))/2

fullscript.py

from sympy import *
x = Symbol('x')
n = symbols('n', integer=True)
print('(1)--------------------------------------------')
f=1/cos(x)
print(f)
print(integrate(f,(x, 0, pi/3)))

print('(2)--------------------------------------------')
f=1/cos(x)**n
print(f)
print(integrate(f,(x, 0, 1)))
# (1)--------------------------------------------
# 1/cos(x)
# log(sqrt(3)/2 + 1)/2 - log(-sqrt(3)/2 + 1)/2
# (2)--------------------------------------------
# cos(x)**(-n)
# Integral(cos(x)**(-n), (x, 0, 1))