・長文です。 以下、高校数学の範囲外が含まれています。
・参照サイトは、ページの最後です。
・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面上に作図しました。
・(2025-04-06) 一次分数変換(linear fractional transformation）もわからずに、投稿している私の無謀さに気づきました。

・パイソニスタの方へ

「myメソッド1」のおすすめのページを探しています。
　メソッド1:　zだけで 　　　　　　　←←←　これです。
　メソッド2:　zをx+iyに置き換えて
　メソッド3:　zをR*(cos(θ)+I*sin(θ))に置き換えて
　メソッド4:　最初からxyを想定して
　メソッド5:　外部の怪しい?モジュールをインストールで
　メソッド6:　いつの日か、アフィン変換行列でやってみたい。

・分冊

(その1/3) 本ページ
(その2/3) AI先生へ丸投げ
 (その3/3) AI先生へxy平面へ書き換え

最初に

オリジナル

・Youtube
　数数英数様
　2025 慶應理工1⚠️ 終了　
　複素数平面のみ(0:00〜02:15) https://youtu.be/bkf8fuNceIs
　フル　　　　　(0:00〜17:02)

・問題文(mathjax テキスト形式)
　大学入試数学問題集成様。いつもお世話になっております。
　2025 慶応義塾大学理工学部MathJax【１】(1)
　https://mathexamtest.web.fc2.com/2025/202513338/2025133380300mj.html#top-0301
　https://mathexamtest.web.fc2.com/index.html

sympyのweb上での実行方法

　SymPy Live Shellで。FreeCADのマクロは、以下で実行できません。
　https://qiita.com/mrrclb48z/items/00dd08b0317069be9342#web%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%AE%9F%E8%A1%8C%E6%96%B9%E6%B3%95sympy-live-shell%E3%81%A7
　

sympyで(数数英数様の方法を参考に)

・ver0.1 ＜複素数平面の最初からわかってアポロニウスの円で。Iを使って。

# ver0.1
from sympy import *
var('A,B',complex=True)
A,B=-I,sqrt(3)
P1=( 1*A+2*B)/(2+1)
P2=(-1*A+2*B)/(2-1)
M =(P1+P2)/2
print("#",M,abs(P1-M))
# 4*sqrt(3)/3 + I/3 4/3

・ver0.2 ＜複素数平面の最初からわかってアポロニウスの円で。Iを使わず、xy平面で。

# ver0.2
from sympy import *
# var('x,y')                          # real=True が必要です。
var('x,y,t',real=True)
O,A,B=map(Point,[(0,0),(0,-1),(sqrt(3),0)])
P1=( 1*A+2*B)/(2+1)
P2=(-1*A+2*B)/(2-1)
M =(P1+P2)/2
Ci=Circle(M,P1.distance(P2)/2)
print("#",Ci)
# Circle(Point2D(13*sqrt(3)/12, 1/12), 5/6)
# ----------- 
# implicit で
# waku=6
# # plot_implicit(Ci           ,(x,-waku,waku),(y,-waku,waku),aspect="equal",size=(6, 6))  #　無理でした。
# plot_implicit  (Ci.equation(),(x,-waku,waku),(y,-waku,waku),aspect="equal",size=(6, 6))
# ------------
# parametric で
Ci_ap=Ci       .arbitrary_point()
Li_ap=Line(A,B).arbitrary_point()
plot_parametric((10*cos(t),10*sin(t),(t,0,2*pi)),
                (Li_ap[0],Li_ap[1],(t,0,1   )),
                (Ci_ap[0],Ci_ap[1],(t,0,2*pi)),
                 aspect = "equal",size=(6,6)  )

・ver0.3 ＜ wikipediaの公式を使って。

#　ver0.3 
from sympy import *
var('m,n')
A,B=map(Point,[(0,-1),(sqrt(3),0)])
print("#",((-n*A+m*B)/(m-n))                     .subs({m:2**2,n:1**2}))
print("#",( abs((m*n)/(m**2-n**2))*A.distance(B)).subs({m:2,n:1}))
# Point2D(4*sqrt(3)/3, 1/3)
# 4/3

sympyで(いつもの方法で)

・ver0.4　複素数平面→xy平面
　途中で、複素数平面からxy平面のCircleに持ち込んでいます。
　myI_Pointで、複素数平面→xy平面変換です。

#　ver0.4 複素数平面→xy平面
from sympy import *
var('x,y,t',real=True)
def myI_Point(my):
    return Point(re(my),im(my))
z=x+I*y;A=-I;B=sqrt(3)
myLhs=z-A;myRhs=2*(z-B)
# abs2=(myLhs*conjugate(myLhs)-(myRhs*conjugate(myRhs)))             # expand()が必要です
abs2  =(myLhs*conjugate(myLhs)-(myRhs*conjugate(myRhs))).expand()   ;print("#",abs2)
print("#",Circle(abs2))
# -3*x**2 + 8*sqrt(3)*x - 3*y**2 + 2*y - 11
# Circle(Point2D(4*sqrt(3)/3, 1/3), 4/3)
# 
# # ----------- 
# # implicit で
# waku=4
# plot_implicit(abs2,(x,-waku,waku),(y,-waku,waku),aspect="equal",size=(6, 6))
# # ----------- 
# parametric で
Ci_ap=Circle(abs2)                     .arbitrary_point()
Li_ap=Line  (myI_Point(A),myI_Point(B)).arbitrary_point()
waku=5
plot_parametric((waku*cos(t),waku*sin(t),(t,0,2*pi)),
                (Li_ap[0],Li_ap[1],(t,0,1   )),
                (Ci_ap[0],Ci_ap[1],(t,0,2*pi)),
                 aspect = "equal",size=(5,5)  )

・青色の円を非表示です。

FreeCADのマクロで作図

・問題文は2次元ですが、３次元FreeCADのマクロで、XY平面に作図しました。
・計算部分は、Ver.0.3 のコピー貼り付けと追加です。

# 以下でます。　
# この機能は非推奨です。この機能を直接使用しないでください。
#   「make_linear_dimension」または「make_linear_dimension_obj」のいずれかを使用してください。
import FreeCAD
import Part
import DraftTools
import Draft
import Mesh
############################################################################
#　ver0.3 xy平面の最初からわかってアポロニウスの円でwikipediaの公式で
from sympy import *
var('m,n')
A,B=map(Point,[(0,-1),(sqrt(3),0)])
print("#",((-n*A+m*B)/(m-n))                     .subs({m:2**2,n:1**2}))
print("#",( abs((m*n)/(m**2-n**2))*A.distance(B)).subs({m:2,n:1}))
# Point2D(4*sqrt(3)/3, 1/3)
# 4/3
############################################################################
O=Point(0,0)
M=((-n*A+m*B)/(m-n))                     .subs({m:2**2,n:1**2})
r=(abs((m*n)/(m**2-n**2))*A.distance(B)).subs({m:2,n:1})
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
# 2024-10-08 fontsize 追加しました。従来と互換性がありません。 
# 2024-10-20 HR 
# 2025-03-27 HL 修正 
############################################################################
def myDimension(fontsize,myExtOvershoot,start_point, end_point,HVP):
    x1, y1 = start_point.args
    x2, y2 = end_point.args
    myFlipText = True
    if HVP=="PL":
       myP1  =Point(float(x1),float(y1))
       myP2  =Point(float(x2),float(y2))
       myFlipText = False
       myExtOvershoot1=abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="PR":
       myP1  =Point(float(x1),float(y1))
       myP2  =Point(float(x2),float(y2))
       myFlipText = False
       myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="VL":
       if x1<x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x1),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1<x2 and y1>y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x1),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
       elif x1>x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x2),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       else:
          myP1  =Point(float(x2),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="VR":
       if x1<x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x2),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1<x2 and y1>y2:
          myP1  =Point(float(x2),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
       elif x1>x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x1),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
       else:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x1),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="HL":
       if x1 < x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y2))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1 < x2 and y1>=y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y1))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
          #myFlipText = True
       elif x1 > x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y1))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
       else:
          myP1  =Point(float(x1),float(y2))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1= abs(myExtOvershoot)
    elif HVP=="HR":
       #if x1<x2 and y1<y2: # 2024-10-20 HR
       if x1<x2 and y1<=y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y1))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1<x2 and y1>y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y2))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
          myFlipText = False
       elif x1>x2 and y1<y2:
          myP1  =Point(float(x1),float(y2))
          myP2  =Point(float(x2),float(y2))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
       else:
          myP1  =Point(float(x1),float(y1))
          myP2  =Point(float(x2),float(y1))
          myExtOvershoot1=-abs(myExtOvershoot)
    else:  
      print("")
    myM   =myP1.midpoint(myP2)
    myT   =myM+myExtOvershoot1*((myP1-myM).unit).rotate( -pi/2 )
    dimension = Draft.makeDimension(
        FreeCAD.Vector(myP1.x, myP1.y, 0),           # 点1の座標
        FreeCAD.Vector(myP2.x, myP2.y, 0),           # 点2の座標
        FreeCAD.Vector(float(myT.x),float(myT.y),0)  # 矢印の位置を中央に設定
    )
    # Ext Overshootを設定
    dimension.ViewObject.ExtOvershoot = -float(myExtOvershoot)
    
    dimension.ViewObject.FlipText = myFlipText

    # 矢印のスタイルを設定
    dimension.ViewObject.ArrowType    = "Arrow"  # 矢印のタイプを "Arrow" に設定
    dimension.ViewObject.ArrowSize    = fontsize/5
    dimension.ViewObject.TextSpacing  = 0
    dimension.ViewObject.LineColor    = (0.0, 1.0, 0.0)  # 緑色
    dimension.ViewObject.FontSize     = fontsize  # フォントサイズを指定
def myXYZ2Txt_2D(A):
    return ""
def myXYZ2Txt_XY_2D(A):
    return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) +  ')'
def myTxtXYZ_2D(fontsize,A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = str(fontsize,)+' mm'
    return
def myTxtXYZ_S_2D(fontsize,*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(fontsize,xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myTxtXYZ_XY_S_2D(fontsize,*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_2D(fontsize,xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_XY_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return

def myTxtXYZ_MoveY_2D(fontsize,MoveY,A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)+MoveY
    P5z=0.0
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = str(fontsize,)+' mm'
    return
def myTxtXYZ_XY_S_MoveY_2D(fontsize,MoveY,*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ_MoveY_2D(fontsize,MoveY,xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt_XY_2D(xy_tx[2*i-2]) )
    return
############################################################################
# 3D作図 z=0 XY平面に作図しました。
############################################################################
# 円の作図　FrecCADのdocより
# https://wiki.freecad.org/Macro_Circle
def Freecad3D_circle(x=0.0,y=0.0,z=0.0,radius=0.0,diameter=0.0,circumference=0.0,area=0.0,startangle=0.0,endangle=0.0,arc=0.0,anglecenter=0.0,cord=0.0,arrow=0.0,center=0,placemObject=""):
    from math import sqrt, pi
    if placemObject == "":
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl.Rotation = FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveView.getCameraOrientation()   
        pl.Base = FreeCAD.Vector(x,y,z)
    else:
        pl = FreeCAD.Placement()
        pl = placemObject                                  # placement imposted
    if diameter != 0:                                      # with diameter
        radius = diameter / 2.0
    elif circumference != 0:                               # with circumference
        radius = (circumference / pi) / 2.0
    elif area != 0:                                        # with area
        radius =  sqrt((area / pi))
    elif (cord != 0) and (arrow != 0):                     # with cord and arrow
        radius = ((arrow**2) + (cord**2) / 4.0) / (arrow*2) 
    elif (arc != 0) and (anglecenter != 0):                # with arc and anglecenter central in degrees
        radius = ((360/anglecenter)*arc) / pi/2.0
        if endangle != 0:
            startangle  = endangle - anglecenter
        endangle   = anglecenter + startangle
        startangle  = endangle - anglecenter
    if radius != 0:
        try:
            Draft.makeCircle(radius,placement=pl,face=False,startangle=startangle,endangle=endangle,support=None)
            if center != 0:
                x=pl.Base.x
                y=pl.Base.y
                z=pl.Base.z
                Draft.makePoint(x,y,z)
        except Exception:
            App.Console.PrintError("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.ActiveDocument.recompute()
    else:
        App.Console.PrintMessage("Unexpected keyword argument" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(x,y,z,radius,diameter,circumference,area,startangle,endangle,[arc,anglecenter],[cord,arrow],center,placemObject)" + "\n")
        App.Console.PrintMessage("circle(radius=10.0,placemObject=App.Placement(App.Vector(11,20,30), App.Rotation(30,40,0), App.Vector(0,0,0)))" + "\n")
    return
def myCircle_2D(myCi):
    x=myCi.center.x
    y=myCi.center.y
    r=myCi.radius
    Freecad3D_circle(
           x=float(x),y=float(y),z=0.0,
           radius=float(abs(r)),
           center=1,
           placemObject=App.Placement(App.Vector(float(x),float(y),0),
           App.Rotation(0,0,0),App.Vector(0,0,0)))
    return
def myLine_2D(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),0.0
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),0.0
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_S_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    return
def myLine_C_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[i-1],args[i])
    myLine_2D(args[i],args[0])
    return
def myLine_H_2D(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine_2D(args[0],args[i])
    return
##################################################################################
myCircle_2D   (Circle(M,r))
myLine_S_2D     (A,B)  
#
myFontsize =0.2
myTxtXYZ_XY_S_2D(myFontsize,O,"O",A,"A",B,"B",M,"M")
#
myOvershoot=myFontsize*3
myDimension(myFontsize,myOvershoot,M,M+Point(r,0),"HL")
####################################################################################
doc = App.activeDocument()
#
# 2025-03-27 なんだか調子が悪い
# App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
# App.ActiveDocumen!t.getObject('Origin').Visibility = True
origin = doc.addObject("App::Origin", "Origin")
origin.Visibility = True
#
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")

isometric方向。斜め方向から。

上空からです。
・寸法表示を勉強中です。分数4/3の表示へ。√も

いつもの? sympyの実行環境と参考のおすすめです。

(テンプレート)

いつもと違うおすすめです。

ver0.1

＞仮に軌跡がまったくイメージできなかったとした(私)
＞先ずやるべき変形は両辺2乗する事
＞アポロニウスの円というものになります。
zが、左辺と右辺に別れているので、
左辺(一方)に集めたら何か見えてくるかもしれない。(?zについて解く)

ver0.2

class sympy.geometry.ellipse.Circle(＊args, ＊＊kwargs)
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/ellipses.html#sympy.geometry.ellipse.Circle
＞A circle can be constructed from an equation in the form
＞a＊x＊＊2+by＊2+gx+hy+c=0,too:

ver0.3

＞もし知らなけければ、これを機会に復習?するといいでしょう。
＞すぐに答えを出していいと思います。
　m, n を互いに異なる正の実数とする。
　線分ABを m ： n に内分する点を Q、外分する点をRとすると、
　アポロニウスの円の中心
　アポロニウスの円の半径
　＜https://ja.wikipedia.org/wiki/アポロニウスの円#アポロニウスの円の中心

ver0.4

・class sympy.functions.elementary.complexes.conjugate(arg)
https://docs.sympy.org/latest/modules/functions/elementary.html#sympy.functions.elementary.complexes.conjugate

arbitrary_point(parameter='t')
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/lines.html#sympy.geometry.line.LinearEntity.arbitrary_point
arbitrary_point(parameter='t')
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/ellipses.html#sympy.geometry.ellipse.Ellipse.arbitrary_point

sympy.plotting.plot.plot_parametric(＊args, show=True,＊＊kwargs)
https://docs.sympy.org/latest/modules/plotting.html#sympy.plotting.plot.plot_parametric

Qiita内

arairuca 様。いつもお世話になっております。

出題範囲(単元)

Youtube

「UFOキャッチャーとスイカ割り」私は、スイカ割りで始めました。
　Masaki Koga [数学解説] 様
　複素数の極形式［数学III 複素数平面9（高校数学理論講座）］　
　UFOキャッチャーとスイカ割り(1:45〜) https://youtu.be/7aXWIB9mFfc?t=105
　フル　　　　　　　　　　　　(0:00〜15:39)　https://youtu.be/7aXWIB9mFfc
＞スイカの位置は、実部虚部座標系です。
＞Masaki Koga [数学解説] 様より
＞ 「極形式はスイカ割り」厳密言うとチョット違う...　
＞教科書と違う複素数の定義...
「スイカ割り理論?」でいくと、今回同時にスイカ割りを開始(移動なし)。AさんとBさんの腕(棒)の長さの比が決まっていて、スイカを並べたら、スイカが円状に配置されました。非日常です。
複素数平面は、もしかして学習指導要領の 単元「数学と人間の活動」 に関連するかも。毎日する活動では,ないです。