「ニュートン法（2変数）」を参考にWolframAlphaとVBAソルバーとSymPyでやってみたい。

オリジナル

wolframalphaで

最小値
(x, y)≈(-2.57025, 2.36873) のとき, min{x^4/2 + x^3/3 - 2 x^2 y + 3 y^2 + 3 x - 1 y + 4}≈-4.38238

極小値
(x, y)≈(-2.57025, 2.36873) のとき, min{x^4/2 + x^3/3 - 2 x^2 y + 3 y^2 + 3 x - 1 y + 4}≈-4.38238
標準の計算時間制限を超えました...

VBAソルバーで

エクセルのソルバーのダイアログ入力で普通にできますが、あえてVBAでチャレンジしてみました。ソルバーのための以下の参考の設定が必要です。
SolverAdd 関数について、微妙ですね。「問題の制約条件を追加します。」難しいです。
おすすめのサイトがあれば、教えて下さい。

参考　

Sub main()
    Range("A1") = ""
    Range("A2") = ""
    Range("A3") = ""
MsgBox "最小値を計算します。(1/2)*x**4+(1/3)*x**3-2*(x**2)*y+3*y**2+3*x-1*y+4"
'
    Range("A3").Formula = "=(1/2)*A1^4+(1/3)*A1^3-2*(A1^2)*A2+3*A2^2+3*A1-1*A2+4"
    Dim ws As Worksheet: Set ws = ActiveSheet
    SolverReset
    SolverOk setCell:=ws.Range("A3"), _
                   MaxMinVal:=2, _
                   ByChange:=ws.Range("A1:A2"), _
                   EngineDesc:="GRG Nonlinear"
    SolverAdd cellRef:=Range("A1"), _
         relation:=1, _
         formulaText:=-2
    SolverAdd cellRef:=Range("A1"), _
         relation:=3, _
         formulaText:=-3
     SolverSolve UserFinish:=True
End Sub
'結果
'-2.570248138
'2.368724738
'-4.38238056

SymPyで

勉強中