パイソニスタの方へ
・三角関数の合成を探しています。
　見つからなかったので自作(def mySinCosSin(A,B):)しました。
??? ＞三角関数の合成
https://math-fun.net/20211224/21139/#i-6

オリジナル

問題[1]（2）
https://www.yomiuri.co.jp/nyushi/sokuho/s_mondaitokaitou/keio/mondai/img/keio_213_sugaku_mon.pdf#page=1
　
解答
https://www.yomiuri.co.jp/nyushi/sokuho/s_mondaitokaitou/keio/kaitou/img/keio_213_sugaku_kai.pdf#page=1
＜ 2024 慶應義塾大学経済＜読売新聞オンライン様のページ
https://www.yomiuri.co.jp/nyushi/sokuho/s_mondaitokaitou/keio/1376715_5113

上と同じです。大学入試数学問題集成様＞テキスト
未登録(2024/02/26)

公式ホームページ
未登録(2024/02/26)

解答解説

めぐろ塾様
操作はスクロールして下さい。ジャンプしません。[1] (2)

sympyで

・ver0.1 という事で。めぐろ塾様を参考にしました。
・sympyで、yの最大値、最小値を求めるだけなら、tanへ置換は不要です。
　
・Returns the maximum value of a function in the given domain.
https://docs.sympy.org/latest/modules/calculus/index.html#sympy.calculus.util.maximum
・Lowering the degree of cos(x)**2.
https://docs.sympy.org/latest/modules/simplify/fu.html#sympy.simplify.fu.TR7
・Returns the n-th coefficient of f where N are the exponents of the generators in the term of interest.
https://docs.sympy.org/latest/modules/polys/reference.html#sympy.polys.polytools.Poly.nth

# ver0.1
from sympy import *
from sympy.simplify.fu import TR7
import re
var('x,y'  ,real=True)
var('θ,α',real=True)
var('f1213,cosα,sinα',real=True,positive=True)
def myPoly(y):
     q, r = div(numer(y), denom(y), domain ='QQ')   
     y1 =q+r/denom(y)    
     y2 =y1-q
     expr = numer(y2)	            # 式を定義
     expr_poly = poly(expr, x)	    # x1,x2,x3に着目した多項式オブジェクトを作成
     x1_coef   = expr_poly.nth(1)	# x1の係数
     constant  = expr_poly.nth(0)	# 定数 
     return q,x1_coef, constant
def mySinCosSin(A,B):
     sol=solve( [Eq(f1213*sinα,A),Eq(f1213*cosα,B),Eq(sinα**2+cosα**2,1)],[f1213,sinα,cosα] )[0]
     return sol[0],sol[1],sol[2]
def mySinCosSin(A,B):
     sol=solve( [Eq(f1213*sinα,A),Eq(f1213*cosα,B),Eq(sinα**2+cosα**2,1)],[f1213,sinα,cosα] )[0]
     return sol[0],sol[1],sol[2]
def myy3y4(y3):
     expr_poly = poly(y3, sin(2*θ),cos(2*θ))	    # x1,x2,x3に着目した多項式オブジェクトを作成
     x1_coef   = expr_poly.nth(1,0)	# x1の係数
     x2_coef   = expr_poly.nth(0,1)	# x1の係数
     constant  = expr_poly.nth(0,0)	# 定数 
     f1213,cosalpha,sinalpha=mySinCosSin(x1_coef,x2_coef)
     return f1213*sin(2*θ+α)+constant,cosalpha,sinalpha
# 
rep   ={x:tan(θ)}
f0809L=(x/(x**2+1))                                     
f0809R=f0809L.subs(rep).simplify()                     
f1011L=1/(x**2+1)                                        
f1011R=f1011L.subs(rep)               
f1011R=(      TR7(numer(f1011R)*cos(θ)**2)
        /simplify(denom(f1011R)*cos(θ)**2)).factor() 
# 
y1 =(x**2+3*x+5)/(x**2+1)   
sol=myPoly(y1)
y2 =sol[0]+sol[1]*x/denom(y1)+sol[2]/denom(y1)
rep={f0809L:f0809R,f1011L:f1011R}
y3 =y2.subs(rep).simplify()                   #;print(y3)             
sol_c_s=myy3y4(y3)
# sol=solveset(Le(abs(tan(θ)),1),θ,Interval(-pi/2,pi/2))     
# sol=solveset(Eq(abs(tan(θ)),1),θ,Interval(-pi/2,pi/2))     
sol=solveset(Eq(      tan(θ) ,1),θ,Interval(-pi/2,pi/2)).args[0]     
#  
print("# 0809  ",Eq(f0809L,f0809R))
print("# 1011  ",Eq(f1011L,f1011R))
print("# 121314",Eq(y    ,sol_c_s[0] ))
print("# 1516  ",Eq(cosα,sol_c_s[1] ))
print("# 1718  ",Eq(sinα,sol_c_s[2] ))
print()
print("# 19    ",      -  sol," "*13           ,"≦ θ   ≦",        sol)    
print("# 19    ",float(-2*sol+acos(sol_c_s[1])),"≦2θ+α≦",float(2*sol+acos(sol_c_s[1])))
print("# 19    ","y=",y3)
print("# 202122",maximum(5*sin(x)/2 + 3,x,Interval(-2*sol+acos(sol_c_s[1]),2*sol+acos(sol_c_s[1])))  )
print("# 202122",minimum(5*sin(x)/2 + 3,x,Interval(-2*sol+acos(sol_c_s[1]),2*sol+acos(sol_c_s[1])))  )
print()
print("# 202122",maximum(y1,x,Interval(-1,1))   ,float( maximum(y1,x,Interval(-1,1)) ))
print("# 2324  ",minimum(y1,x,Interval(-1,1)),"",float( minimum(y1,x,Interval(-1,1)) ))
# 
from sympy.plotting import plot
plot(0,y1,(x,-1,1),aspect_ratio=(1.0,1.0))

# 0809   Eq(x/(x**2 + 1), sin(2*θ)/2)
# 1011   Eq(1/(x**2 + 1), (cos(2*θ) + 1)/2)
# 121314 Eq(y, 5*sin(α + 2*θ)/2 + 3)
# 1516   Eq(cosα, 3/5)
# 1718   Eq(sinα, 4/5)

# 19     -pi/4               ≦ θ   ≦ pi/4
# 19     -0.6435011087932844 ≦2θ+α≦ 2.498091544796509
# 19     y= 3*sin(2*θ)/2 + 2*cos(2*θ) + 3
# 202122 11/2
# 202122 3/2

# 202122 11/2 5.5
# 2324   3/2  1.5

グラフ作図

いつもの? sympyの実行環境と参考のおすすめです。

(テンプレート)

いつもと違うおすすめです。

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・??? 定角で