空間ベクトル「2024 北海道大学フロンティア入試選択問題【２】」をChatGPTとsympyとFreeCADでやってみたい。

Last updated at 2024-05-17Posted at 2024-05-13

~~既投稿を潰してしまって、復旧中です。申し訳ありません。~~

オリジナル

＞2024 北海道大学フロンティア入試選択問題MathJax 様
https://mathexamtest.web.fc2.com/2024/202410001/2024100010400mj.html#top-0402
＞ManabiMath 様問題解答解説
https://mathmathmass.exblog.jp/
https://drive.google.com/file/d/1pN5Qkk-PZBeGgw2hrR1f0fFmvi23lAM9/view

＞大学入試数学問題集成様＞【13】テキスト
＜ ManabiMath 様トップページ
https://manabimath.jimdofree.com/
https://mathexamtest.web.fc2.com/2023/202320120/2023201200100mj.html#top-

公式ホームページ
https://www.hokudai.ac.jp/admission/faculty/ao/pastproblem.html
(省略)

sympyで(オリジナル様の方法で)

・??? 勉強中

ChatGPT-3.5先生へ

大学入試数学問題集成様＞ 2024 北海道大学フロンティア入試選択問題【２】テキスト

・ページのソースを表示です。MathMLです。
　省略しようと思いましたが、M.E.T.A.様の全文です。

<p class="slevel"><a name="q-0402" 
id="q-0402"></a><span 
class="qnum">【２】</span>　空間内の原点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">O</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>を通りベクトル<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mrow><mover><mi>u</mi><mo>&rightarrow;</mo></mover>
<mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>,</mo>
<mo>-</mo><mn>1</mn><mo rspace=".2em" stretchy="false">)</mo></mrow>
</math>に平行な直線を<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>l</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>とし，点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">A</mi><mspace width=".5em"></mspace>
</math><math>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>,</mo>
<mn>2</mn><mo rspace=".2em" stretchy="false">)</mo></mrow>
</math>を通りベクトル<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mrow><mover><mi>v</mi><mo>&rightarrow;</mo></mover>
<mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo>
<mn>1</mn><mo rspace=".2em" stretchy="false">)</mo></mrow>
</math>に平行な直線を<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>m</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>とする．<math>
<mi>l</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>上の点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">P</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>と<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>m</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>上の点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">Q</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>を通る直線<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>PQ</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>は<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>l</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>と<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>m</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の両方に直交する．</p>
<p class="s1level">(1)　<math>
<mi mathvariant="normal">P</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>と<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">Q</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の座標を求めなさい．</p>
<p class="s1level">(2)　<math>
<mi>&triangle;OPQ</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の面積を求めなさい．</p>
<p class="s1level">(3)　<math>
<mi>&triangle;OPQ</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>を含む平面を<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>&alpha;</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>とする．点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">A</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>から<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>&alpha;</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>へ垂線を下ろし，<math>
<mi>&alpha;</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>との交点を<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">H</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>とする．<math>
<mi mathvariant="normal">H</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の座標，線分<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>AH</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の長さ，四面体<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>AOPQ</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の体積を求めなさい．</p>
<p class="s1level">(4)　点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">Q</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>に関して<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">A</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>と対称な点を<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">B</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>とする．四面体<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi>BOPQ</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の体積を求めなさい．
<div class="qbody">
<p class="slevel"><a name="q-0113" 
id="q-0113"></a><span 
class="qnum">【13】</span>　座標空間内の<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mn>4</mn>
<mspace width=".2em"></mspace>
</math>点<math>
<mspace width=".2em"></mspace><mi mathvariant="normal">A</mi>
<mspace width=".5em"></mspace>
</math><math>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo>
<mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn>
<mo rspace=".2em" stretchy="false">)</mo><mtext>，</mtext></mrow>
</math><math>
<mi mathvariant="normal">B</mi><mspace width=".5em"></mspace>
</math><math>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo>,</mo>
<mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn>
<mo rspace=".2em" stretchy="false">)</mo><mtext>，</mtext></mrow>
</math><math>
<mi mathvariant="normal">C</mi><mspace width=".5em"></mspace>
</math><math>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo>
<mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn>
<mo rspace=".2em" stretchy="false">)</mo><mtext>，</mtext></mrow>
</math><math>
<mi mathvariant="normal">D</mi><mspace width=".5em"></mspace>
</math><math>
<mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo>,</mo><mn>2</mn>
<mo>,</mo><mn>0</mn><mo rspace=".2em" stretchy="false">)</mo></mrow>
</math><math>
<mrow><mtext>（</mtext><mspace width=".2em"></mspace>
<mi>t</mi></mrow><mspace width=".2em"></mspace>
</math>は実数）が同一平面上にあるとき，<math>
<mi>t</mi><mspace width=".2em"></mspace>
</math>の値はいくらか．</p>
<p class="s2sublevel half"><math>
<mrow><mtext>1．</mtext><mo>-</mo><mn>2</mn><mtext>　　</mtext></mrow>
</math><math>
<mrow><mtext>2．</mtext><mn>0</mn><mtext>　　</mtext></mrow>
</math><math>
<mrow><mtext>3．</mtext><mn>2</mn><mtext>　　</mtext></mrow>
</math><math>
<mrow><mtext>4．</mtext><mn>4</mn><mtext>　　</mtext></mrow>
</math><math>
<mrow><mtext>5．</mtext><mn>6</mn></mrow></math>
</p>
</div>
</div>

・上記を、ChtGPTのnewchatにコピー貼り付けです。
　(始めから、sympyで。ありかも。)

この問題は、空間内の直線と点に関する問題ですね。それでは順番に解いていきましょう。
...

・あきらめました。

(従来の方法)sympyで、私のいつもの方法です。

・以下、私のコツコツのコードです。
・安易に行列式を使っています。
・Hの座標がほしいのは、手計算ならです。体積だけなら、面倒くさいですね。
＞sympy docより
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/plane.html#sympy.geometry.plane.Plane.projection
https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/plane.html

from sympy import *
var('t',real=True)
def SimentaiTaiseki(PTO,PTA,PTB,PTC):
    return Matrix([[PTA.x-PTO.x, PTA.y-PTO.y, PTA.z-PTO.z],
                   [PTB.x-PTO.x, PTB.y-PTO.y, PTB.z-PTO.z],
                   [PTC.x-PTO.x, PTC.y-PTO.y, PTC.z-PTO.z]]
                  ).det()/6
def myCross(A,B):
    return Point(A.y*B.z-A.z*B.y,A.z*B.x-A.x*B.z,A.x*B.y-A.y*B.x)
O  =Point(0,0, 0)
u  =Point(1,0,-1)
A  =Point(1,4, 2)
v  =Point(0,1, 1)
P  =  t*u
Q  =A+s*v
rep =solve([Eq((Q-P).dot(u),0),Eq((Q-P).dot(v),0)],[s,t] ) 
P   =P.subs(rep)
Q   =Q.subs(rep)
OPQ =Herons3(O,P,Q)
H   =Plane(O,P,Q).projection(A)
AH  =A.distance(H)
AOPQ=Rational(1,3)*Herons3(O,P,Q)*A.distance(H)
B   =Q+(Q-A)
print("#(1)",P,Q)
print("#(2)",OPQ)
print("#(3)",H,AH,AOPQ)
print("#(4)",SimentaiTaiseki(B,O,P,Q))
#(1) Point3D(4/3, 0, -4/3) Point3D(1, 1/3, -5/3)
#(2) 2*sqrt(6)/9
#(3) Point3D(-5/6, 1/3, 1/6) 11*sqrt(6)/6 22/27
#(4) 22/27

FreeCADのマクロで作図

・３次元FreeCADのワイヤーフレームです。
・マクロプログラムの計算部分は、コピーしています。

import FreeCAD
import Part
import Draft
import Mesh
#########################################################################################################
# 計算
##############################################################
# ver0.1
# 
# 北海道フロ
# https://docs.sympy.org/latest/modules/geometry/plane.html
from sympy import *
var('s,t',real=True)
def Herons(a,b,c):
    s=(a+b+c)/2
    return sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)).simplify()
def Herons3(p,q,r):
    return Herons(p.distance(q), q.distance(r), r.distance(p))
def SimentaiTaiseki(PTO,PTA,PTB,PTC):
    return Matrix([[PTA.x-PTO.x, PTA.y-PTO.y, PTA.z-PTO.z],
                   [PTB.x-PTO.x, PTB.y-PTO.y, PTB.z-PTO.z],
                   [PTC.x-PTO.x, PTC.y-PTO.y, PTC.z-PTO.z]]
                  ).det()/6
def myCross(A,B):
    return Point(A.y*B.z-A.z*B.y,A.z*B.x-A.x*B.z,A.x*B.y-A.y*B.x)
O  =Point(0,0, 0)
u  =Point(1,0,-1)
A  =Point(1,4, 2)
v  =Point(0,1, 1)
P  =  t*u
Q  =A+s*v
rep =solve([Eq((Q-P).dot(u),0),Eq((Q-P).dot(v),0)],[s,t] ) 
P   =P.subs(rep)
Q   =Q.subs(rep)
OPQ =Herons3(O,P,Q)
H   =Plane(O,P,Q).projection(A)
AH  =A.distance(H)
AOPQ=Rational(1,3)*Herons3(O,P,Q)*A.distance(H)
B   =Q+(Q-A)
print("#(1)",P,Q)
print("#(2)",OPQ)
print("#(3)",H,AH,AOPQ)
print("#(4)",SimentaiTaiseki(B,O,P,Q))
##########################################################################################################
### 作図用
##########################################################################################################
### 3D作図
def myXYZ2Txt(A):
     return '(' + str(A.x) + ',' + str(A.y) + ',' + str(A.z) + ')'
    #return ''
def myTxtXYZ(A,myWedgei):
    P5x=float(A.x)
    P5y=float(A.y)
    P5z=float(A.z)
    p5 = FreeCAD.Vector(P5x, P5y, P5z)
    myText = Draft.makeText(myWedgei, p5)
    myText.Label = myWedgei
    FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '1.0 mm'
    # FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.5 mm'
    # FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.1 mm'
    # FreeCADGui.ActiveDocument.ActiveObject.FontSize = '0.05 mm'
    return
def myTxtXYZ_S(*xy_tx):
    for i in range(1,int(len(xy_tx)/2)+1):
        myTxtXYZ(xy_tx[2*i-2],xy_tx[2*i-1]+myXYZ2Txt(xy_tx[2*i-2]) )
    return
def myLine(A,B):
    Ax,Ay,Az=float(A.x),float(A.y),float(A.z)
    Bx,By,Bz=float(B.x),float(B.y),float(B.z)
    pl = FreeCAD.Placement()
    pl.Rotation.Q = (0.4247081540122249, 0.17592004639554645, 0.33985110062924484, 0.8204732460821097)
    pl.Base = FreeCAD.Vector(-3.9166066876399563, -2.1670824762243774, 1.7495260956243028)
    points = [FreeCAD.Vector(Ax,Ay,Az), FreeCAD.Vector(Bx,By,Bz)]
    line = Draft.make_wire(points, placement=pl, closed=False, face=True, support=None)
    Draft.autogroup(line)
    return
def myLine_S(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine(args[i-1],args[i])
    return
def myLine_C(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine(args[i-1],args[i])
    myLine(args[i],args[0])
    return
def myLine_H(*args):
    for i in range(1,len(args)):
        myLine(args[0],args[i])
    return
#
#myLine_S  (A,O,B)
#myLine_S  (O,M)
#myLine_S  (A,C)
#myLine_S  (A,M)
#myLine_S  (A,D)
#myLine_C  (A,C,D)
#myTxtXYZ_S(O,"O",A,"A",B,"B",C,"C",D,"D",M,"M")

myLine_C  (  O,P,Q)
myLine_H  (A,O,P,Q)
myLine_H  (B,O,P,Q)
myLine    (A,B)
myTxtXYZ_S(O,"O",P,"P",Q,"Q")
myTxtXYZ_S(A,"A",B,"B")
#
doc = App.activeDocument()
App.ActiveDocument.addObject("App::Origin", "Origin")
App.ActiveDocument.getObject('Origin').Visibility = True
App.ActiveDocument.recompute()
Gui.activeDocument().activeView().viewAxonometric()
Gui.SendMsgToActiveView("ViewFit")