複素数

複素数とは

複素数とは、実数と虚数を組み合わせた数のことです。一般的に、複素数は次のように表されます。

$[ z = a + bi ]$

ここで、

• $( a )$ は実数部分（実部）
• $( b )$ は虚数部分（虚部）
• $( i )$ は虚数単位で、$( i^2 = -1 )$ という特性を持っています。

例

例えば、$( z = 3 + 4i )$ という複素数では、実部は 3、虚部は 4 です。

複素数の演算

1. 加算：
   複素数同士を足す時は、実部同士、虚部同士を足します。
   $[
   (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i
   ]$

2. 減算：
   複素数同士を引く時も同様です。
   $[
   (a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d)i
   ]$

3. 乗算：
   複素数を掛ける時は、分配法則を使います。
   $[
   (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
   ]$

4. 除算：
   複素数を割る時は、共役を使って分母を実数にします。
   $[
   \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}
   ]$

複素平面

複素数は、実数部分を x 軸、虚数部分を y 軸とする平面（複素平面）で表すことができます。例えば、$( 3 + 4i )$ は、x 軸の 3、y 軸の 4 の位置に点を持ちます。