まず最初に僕の環境についてなんですが、Docker Toolboxを使用しています。
なのでこのエラーと対策法はDocker Toolbox特有のものかもしれないのでそこはご了承ください。

#docker-compose psでexitが出た
おそらく僕と同じエラーで引っかかった人はdocker-compose psコマンドを打った時にdb(データベース)はちゃんとupと表示されているのに、railsのところ（？）ではexitと出ていてローカルホストにアクセスできないのではないでしょうか。

docker-compose down

からの

docker-compose up -d

をしてコンテナを再起動してもexitのまま、ここで数時間詰まってしまいました

#docker-compose logsでlogの確認
何か原因となるものがあるかとlogの中を見てみると僕の環境の場合、already server up という記述がlogの中rails(?)にあり、そこにapp/tmp/pids/server.pidと書かれていました。

結局このserver.pidが悪さをしていてサーバーを立ち上げることができなかったそうです。フォルダからserver.pidを削除し、

docker-compose up -d

で再起動してあげたらローカルホストにアクセスできるようになっていました。参考になれば幸いです。