今回はレイアウトの関係上、原文と表現を変えてあります。問題に影響はありません。
問題文
$n$を正の整数とする。次の問に答えよ。
(1)次の定積分を求めよ。
\int_0^{\frac{\pi}{n}} \sin nx dx
(2)次の定積分を求めよ。
\int_0^{\pi} | \sin nx | dx
(3)座標平面上において連立不等式 $0 \le x \le \pi,\ 0 \le y \le \frac12,\ y \le | \sin nx |$ の表す図形を、$x$軸の周りに１回転してできる回転体の体積を求めよ。
(4))座標平面上において連立不等式 $0 \le x \le \pi,\ 0 \le y \le \sqrt{x}| \sin nx |$ の表す図形を、$x$軸の周りに１回転してできる回転体の体積を求めよ。
読んでみて思ったこと
- FOCUS GOLDの★３か★４程度かな、これまでの【１】【２】【３】に比べたら入試問題らしくなってきた。
- (1)は積分区間が $\sin nx$ の半周期分で、$n$が大きくなるほどグラフが横に押しつぶされる感じかぁ。
- (2)は積分区間を$n$等分して足し合わせれば、(1)が活用できそう。
- (3)(4)は図形が分かればチョロかな。
実際に解いてみた
(1)
\begin{align}
\int_0^{\frac{\pi}{n}} \sin nx dx &= \int_0^{\frac{\pi}{n}} \left( -\frac1n \cos nx \right)' dx\\
&= \left[ -\frac1n \cos nx \right]_0^{\frac{\pi}{n}}\\
&= \frac1n + \frac1n\\
&= \frac2n
\end{align}
(2)
グラフ（リンク先でGeoGebraが開き、スライダーで$n$をいじってグラフを動かせます。）
被積分関数の周期は$\frac{\pi}{n}$なので、積分区間を$n$等分し各区間で$y = |\sin nx|$と$x$軸に囲まれた面積を足し合わせると、求めるべき定積分に相当する。
よって
\begin{align}
\int_0^{\pi} | \sin nx | dx &= \int_0^{\frac{\pi}{n}} \sin nx dx + \int_{\frac{\pi}{n}}^{\frac{2\pi}{n}} \sin nx dx + \cdots + \int_{\frac{(n-1)\pi}{n}}^{\pi} \sin nx dx\\
&= \int_0^{\frac{\pi}{n}} \sin nx dx + \int_0^{\frac{\pi}{n}} \sin nx dx + \cdots + \int_0^{\frac{\pi}{n}} \sin nx dx\\
&= n \int_0^{\frac{\pi}{n}} \sin nx dx\\
&= n \cdot \frac2n\ ((1)の結果から)\\
&= 2
\end{align}
(3)
※グラフ作るのが面倒だったので作ってません。スミマセン。
座標平面上において連立不等式 $0 \le x \le \pi,\ 0 \le y \le \frac12,\ y \le | \sin nx |$ の表す図形を、$x$軸の周りに１回転してできる回転体の体積を$V$とする。
$y = | \sin nx |$の周期性から、$0 \le x \le \frac{\pi}{n}$ の範囲の回転体の体積を$n$倍したものが$V$に相当する。
さらに $0 \le x \le \frac{\pi}{n}$ の範囲の回転体は$x=\frac{\pi}{2n}$を軸に対称である。
また $0 \le x \le \frac{\pi}{2n}$ の範囲で $y = | \sin nx |,\ y = \frac12$の交点の$x$座標は$\frac{\pi}{6n}$である。
以上から
\begin{align}
\frac{V}{2n} &= \pi \int_0^{\frac{\pi}{6n}} \sin^2 nx dx + \pi \cdot \left( \frac12 \right)^2 \cdot \left( \frac{\pi}{2n} - \frac{\pi}{6n} \right)\\
&= \pi \int_0^{\frac{\pi}{6n}} \frac{1 - \cos 2nx}{2} dx + \frac{\pi^2}{12n}\\
&= \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{1}{2n} \sin 2nx \right]_0^{\frac{\pi}{6n}} + \frac{\pi^2}{12n}\\
&= \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{6n} - \frac{\sqrt{3}}{4n} \right) + \frac{\pi^2}{12n}\\
&= \frac{\pi^2}{6n} - \frac{\sqrt{3}\pi}{8n}
\end{align}
よって
V = \frac{\pi^2}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi}{4}
(4)
座標平面上において連立不等式 $0 \le x \le \pi,\ 0 \le y \le \sqrt{x}| \sin nx |$ の表す図形を、$x$軸の周りに１回転してできる回転体の体積を$W$とすると、
\begin{align}
W &= \pi \int_0^{\pi} x \sin^2 nx dx\\
&= \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} x(1 - \cos 2nx) dx\\
&= \frac{\pi}{2} \left[ x \left(x - \frac{1}{2n} \sin 2nx \right) \right]_0^{\pi} - \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} \left(x - \frac{1}{2n} \sin 2nx \right) dx\\
&= \frac{\pi}{2} \cdot \pi^2 - \frac{\pi}{2} \left[ \left( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{4n^2} \cos 2nx \right) \right]_0^{\pi}\\
&= \frac{\pi^3}{2} - \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi^2}{2}\\
&= \frac{\pi^3}{2} - \frac{\pi^3}{4}\\
&= \frac{\pi^3}{4}
\end{align}
ふりかえり
個別に振り返ることもないけど、落ち着いて解けばなんてことない問題。
ただ$n$が出てきたことでビビって後回しにしてると、もしかしたら時間が足りなくなるかも。
グラフのイメージがつかないときは、実際にグラフを描いてどういう積分をしなければならないのかハッキリさせるべき。