床関数$\lfloor f(x)\rfloor$の入った定積分がしたい。
基本的な方針としては$\lfloor f(x)\rfloor$の不連続点、すなわち$f(x)$が整数になるような点で積分区間を分けるというものだ。
例題
例えば
I=\int_{0}^{1}\left\lfloor\frac{1}{\sqrt{x}}\right\rfloor dx
という積分を考えてみる。
これは$\displaystyle\left\lfloor\frac{1}{\sqrt{x}}\right\rfloor$が整数になるような点、すなわち不連続点が$\displaystyle x=\frac{1}{n^{2}}\quad(n\in\mathbb{N})$であるから、このような点で積分区間を分ければよい。
よって与式は
\begin{align}
I&=\int_{\frac{1}{4}}^{1}\left\lfloor\frac{1}{\sqrt{x}}\right\rfloor dx+\int_{\frac{1}{9}}^{\frac{1}{4}}\left\lfloor\frac{1}{\sqrt{x}}\right\rfloor dx+\int_{\frac{1}{16}}^{\frac{1}{9}}\left\lfloor\frac{1}{\sqrt{x}}\right\rfloor dx+\cdots\\
&=\sum_{k=1}^{n}\int_{\frac{1}{(k+1)^{2}}}^{\frac{1}{k^{2}}}\left\lfloor\frac{1}{\sqrt{x}}\right\rfloor dx\\
&=\sum_{k=1}^{n}I_{k}
\end{align}
と積分区間を分けてあげるとうまくいく。
$\displaystyle I_{k}=\int_{\frac{1}{(k+1)^{2}}}^{\frac{1}{k^{2}}}\left\lfloor\frac{1}{\sqrt{x}}\right\rfloor dx$とおくと、$\left(\frac{1}{(k+1)^{2}},\ \frac{1}{k^{2}}\right]$において$\left\lfloor\frac{1}{\sqrt{x}}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{1}{\sqrt{k^{2}}}\right\rfloor$より
\begin{align}
I_{k}&=\int_{\frac{1}{(k+1)^{2}}}^{\frac{1}{k^{2}}}\left\lfloor\frac{1}{\sqrt{x}}\right\rfloor dx\\
&=\int_{\frac{1}{(k+1)^{2}}}^{\frac{1}{k^{2}}}\left\lfloor\frac{1}{\sqrt{k^{2}}}\right\rfloor dx\\
&=\left\lfloor\frac{1}{\sqrt{k^{2}}}\right\rfloor\int_{\frac{1}{(k+1)^{2}}}^{\frac{1}{k^{2}}}dx\\
&=|k|\left(\frac{1}{k^{2}}-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right)\\
\therefore I_{k}&=\frac{1}{k}-\frac{k}{(k+1)^{2}}\quad(\because k>0)
\end{align}
であるから、
\begin{align}
I&=\sum_{k=1}^{n}I_{k}\\
&=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{k}{(k+1)^{2}}\right)\\
&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{(k+1)^{2}}\\
&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{k-1}{k^{2}}\\
&=\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k}\right)+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}\\
&=1+\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}-1\right)\\
&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}\\
\end{align}
となる。
ここで$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\zeta(2)$はバーゼル級数と呼ばれ、その値が$\dfrac{\pi^{2}}{6}$となることが知られている。
よって$I=\dfrac{\pi^{2}}{6}$と、非常にきれいな結果となる。
練習問題
以下は練習問題。問1はギリギリ高校数学の範囲だけで解けるはず。問4はゲキムズ問題。参考動画はこちら。
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$\displaystyle\lim_{n\to+0}\int_{n}^{1}\cos\left(\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor\pi\right)dx$
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$\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\lfloor x\rfloor^{2}} dx$
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$\displaystyle\int_{-1}^{1}x\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor dx$
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$\displaystyle\int_{0}^{1}\sin\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor dx$
こんくる
積分が級数の問題になるのでおもしろいですね。はい。では。