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PythonでQuaternionを使う ~ numpy-quaternion ~

はじめに

Pythonでクォータニオンを扱うライブラリはpyquaternionとnumpy-quaternionが世界でのトップ2のようですが,日本ではpyquaternionの参考ページを作った人が最初にいたからか,巷に溢れているPythonでのクォータニオン計算はpyquaternionばっか(しかない?)です.

しかし,numpy-quaternionのほうが計算コストが低そうです.
参考: https://www.theoj.org/joss-papers/joss.00787/10.21105.joss.00787.pdf

また,githubのスターの数を比べてもnumpy-quaternionのほうが多いです(2019/12/13時点でnumpy-quaternionが276,pyquaternionが138).

numpyとの親和性も一括変換の扱いやすさなどでpyquaternionよりも良い気がします.使ってみませんか?

githubのリポジトリ: https://github.com/moble/quaternion
ドキュメント: https://quaternion.readthedocs.io/en/latest/
PyPI: https://pypi.org/project/numpy-quaternion/

インストール

pip install numpy-quaternion

で簡単に入ります.

また,

import quaternion

でライブラリがインポートできます.

クォータニオンの表記

quat = (w, x, y, z) = \left(\underbrace{\cos\frac{\theta}{2}}_{実数部},\ \underbrace{\lambda_x\sin\frac{\theta}{2},\ \lambda_y\sin\frac{\theta}{2},\ \lambda_z\sin\frac{\theta}{2}}_{虚数(ベクトル)部}\right)

使い方

以下,

import numpy as np
import quaternion

とします.

クォータニオンを作る

quat = np.quaternion(w, x, y, z)

numpyの属性にquaternionが追加されます.
例えば,

print(np.quaternion(1,0,0,0))
# -> quaternion(1, 0, 0, 0)

type(np.quaternion(1,0,0,0))
# -> quaternion.quaternion

となります.

クォータニオンの合成

q1 = np.quaternion(1, 2, 3, 4)
q2 = np.quaternion(4, 5, 6, 7)
print(q1*q2)
# -> quaternion(-52, 10, 24, 20)

掛け算が定義されています.一応他の四則演算も定義されていますが,和とか使うことありますかね…C++のEigenでは定義されていません.

np.quaternionのメソッド

一部のみ取り上げます.球面関数関係のものや,線形補間などは取り上げていません.
参考: https://quaternion.readthedocs.io/en/latest/_autosummary/quaternion.html

メンバ変数

メンバ変数 機能
w 実数部の要素
x 虚数部の最初の要素
y 虚数部の2番目の要素
z 虚数部の3番目の要素
components (w,x,y,z)がnumpy.arrayで返ってくる
imag 虚数部(x,y,z)がnumpy.arrayで返ってくる
vec 虚数部(x,y,z)がnumpy.arrayで返ってくる
real 実数部(w)が返ってくる

メンバ関数

メンバ関数 機能
abs() クォータニオン(ユークリッド距離)の絶対値
absolute() クォータニオンの絶対値
angle() 回転角度
conj() クォータニオンの複素共役を返す
conjugate() クォータニオンの複素共役を返す
equal(quat) 引数の中身のクォータニオンと等しいか
exp exponetialを返す($e^q$)
inverse() 逆クォータニオンを返す
isfinite() 全ての要素が有限か
ininf() 1つでもinfの要素が存在するか
innan() 1つでもnanの要素が存在するか
log() クォータニオンのログを返す
nonzero() 全ての要素が0か
norm() クォータニオンのCayley norm(絶対値の二乗のルート)
normalized() 正規化したクォータニオンを返す
notequal(quat) 引数の中身のクォータニオンと等しくないか
sqrt() クォータニオンのsquare-root($quat=q*q$を満たす$q$)を返す
square() クォータニオンの2乗$(quat*quat)$を返す

quaternionのメソッド

この辺のメソッドは1次元のものではなく,多次元配列にも利用できるのがポイント.最後の次元の大きさがクォータニオンを要求するものなら4,3次元のものなら3次元,3x3なら最後の2次元が3x3にするなどはしないといけない.

メンバ関数 機能
quaternion.as_quat_array(a) numpy.arrayをquaternionに変換.aの最後の次元のサイズは4でないといけない
quaternion.as_float_array(a) numpy.quaternionをnumpy.arrayに変換.出力の次元は入力より1大きい.
quaternion.from_float_array(a) as_quat_arrayと同じ
quaternion.as_rotation_matrix(q) numpy.quaternionを3x3の回転行列に変換.
quaternion.from_rotation_matrix(rot, nonorthogonal=True) 3x3の回転行列をnumpy.quaternionに変換
quaternion.as_rotation_vector(q) クォータニオンから回転軸を求める.出力の最後の次元の大きさは3.
quaternion.from_rotation_vector(rot) サイズ3の回転軸からクォータニオンに変換する.
quaternion.as_euler_angles(q) クォータニオンからオイラー角に変換.オイラー角の変換順などはドキュメント参照
quaternion.from_euler_angles(alpha_beta_gamma, beta=None, gamma=None) オイラー角からクォータニオンに変換.オイラー角の変換順などはドキュメント参照
quaternion.rotate_vectors(R, v, axis=-1) Rはクォータニオン,vはベクトル.クォータニオンに応じてベクトルを回転させる.
quaternion.allclose(a, b, rtol=8.881784197001252e-16, atol=0.0, equal_nan=False, verbose=False) 2つのクォータニオンを比較する
quaternion.integrate_angular_velocity(Omega, t0, t1, R0=None, tolerance=1e-12) 角速度に応じて回転させる

公式ドキュメント

ちなみにこのライブラリの作者はオイラー角が大ッキライみたいです.使ってる人見たらやめろ!って言ってあげてその場から立ち去ってお母さんにちくっちゃえ!とか書いてあります

最後に

Pythonでクォータニオンを扱う需要ってどこにあるんでしょうか?UnityはC#だしそもそもUnityの機能使えって話だし,ロボットではPythonは遅すぎて論外だし…

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