拡散モデルにおける確率微分方程式の条件付き確率の導出について

はじめに

岡野原大輔さんの著書「拡散モデル」で躓いたのでメモをします。
拡散モデルにおける確率微分方程式の条件付き確率の導出についての記事です。
確率微分方程式については素人なので間違っていればご教示お願い致します。

本題

確率微分方程式が与えられているとする.

\begin{equation}
dx=f(t)xdt+g(t)dw
\end{equation}

このとき, 条件付き確率は,

\begin{equation}
p(x(t)|x(0))=\mathcal{N}(s(t)x(0),s(t)^2\sigma(t)^2I)
\end{equation}

ただし,

\begin{eqnarray}
s(t)&=&\exp\left(\int_{0}^{t}f(\xi)d\xi\right)\\
\sigma(t)&=&\sqrt{\int_{0}^{t}\dfrac{g(\xi)^2}{s(\xi)^2}d\xi}
\end{eqnarray}

である.