工学のための関数解析（凸射影）

はじめに

「工学のための関数解析」のp.207の例１閉凸集合への二乗距離関数の凸性と微分(b)の証明で躓いたので、躓いた点を備忘録として残しておきます。理解できているか不安なので、間違いがあればコメント等で教えて頂ければ幸いです。

凸射影について

任意の$x\in\mathcal{H}$に対して

$$
d(x,C):=\inf_{y\in C}||x-y||=||x-P_C(x)||=\min_{y\in C}||x-y||
$$

を満たす唯一の点$P_C(x)\in C$が存在する。

$d(x,C)$を点$x$と集合$C$間の距離と呼ぶ。

写像$P_C:\mathcal{H}\rightarrow C , \ x\rightarrow P_C(x)$を凸射影という。

躓きポイント１

$||x-P_C(x+h)||\geq ||x-P_C(x)||$

$||x-P_C(x)||$は$||x-P_C(x)||$が最小となるように点$P_C(x)$が定まり点$x$との距離が決まる。一方で、$||x-P_C(x+h)||$は$||x+h-P_C(x+h)||$が最小となるように点$P_C(x+h)$が定まり点$x$との距離が決まる。そのため、$||x-P_C(x+h)||$は$||x-P_C(x)||$よりも点$x$との距離が大きくなることがわかる。

躓きポイント２

$\left||x+h-P_C(x+h)\right||\leq||x+h-P_C(x)||$

$||x+h-P_C(x+h)||$は$||x+h-P_C(x+h)||$が最小となるように点$P_C(x+h)$が定まり点$x+h$との距離が決まる。一方で、$||x+h-P_C(x)||$は$||x-P_C(x)||$が最小となるように点$P_C(x)$が定まり点$x+h$との距離が決まる。そのため、$||x+h-P_C(x)||$は$||x+h-P_C(x+h)||$よりも点$x+h$との距離が大きくなることがわかる。