上極限集合と下極限集合

はじめに

いつも上極限集合と下極限集合で躓くので、備忘録で残す。

上極限集合と下極限集合

集合列$\lbrace A_n \rbrace$に対し,

\begin{eqnarray}

\lim \sup_{n\rightarrow\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty} A_k \\
\lim \inf_{n\rightarrow\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k \\

\end{eqnarray}

をそれぞれ、上極限集合、下極限集合という。両者が一致するとき、極限集合という。

イメージは下の通り。

上極限集合の意味

$\lim \sup_{n\rightarrow\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$
$\iff$ 任意の$n\geq 1$に対して、ある$k\geq n$が存在して、$a\in A_k$が成り立つ。
$\iff$ $n$を自由にとっても、$k\geq n$となる$a\in A_k$が存在する。
$\iff$ $a\in A_k$となる$k$が無限個ある
$\iff$ 無限個の$A_k$に属する元全体の集合

下極限集合の意味

$\lim \inf_{n\rightarrow\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k$

$\iff$ ある$n\geq 1$が存在して、任意の$k\geq n$に対して、$a\in A_k$が成り立つ。
$\iff$ ある一定以上の$k$について、それ以上では必ず$a\in A_k$になる。
$\iff$ $a\notin A_k$となる$k$は有限個しかない。
$\iff$ $A_k$に属さない$k$が有限個しかない元全体の集合

参考