はじめに
数理工学に従事するにあたり、数理科学の用語をしっかり理解したうえで応用数学を産業界に社会実装したいと考えています。
大学では電気電子工学を専攻しており、教養数学（線形代数、微分積分、常微分方程式、偏微分方程式、フーリエ級数、フーリエ変換、ラプラス変換、複素関数、数理統計）と応用数学（信号処理、制御工学）を学びました。
業務を通して数理エンジニアとして働くには大学で学んだ内容だけでは限界があり、それ以外も知る必要があることがわかりました。そこで数理エンジニアとして必要な項目について学習の進捗状況を明らかにし勉強する動機にしたいと考え技術記事を作成しました。
基礎数学
時間が限られていることもあり、応用数学で登場する数学のみ焦点を当てて勉強することにします。方針としては基礎数学の入門レベルを一通り勉強してから適宜内容をまとめ詳細をつめていく方針とします。
（〇は学習済み、△は途中、★は勉強中を示す）
| 項目 | 入門 | 基礎 | 詳細 | ひとことでいうと？ |
|---|---|---|---|---|
| 線形代数 | 〇 | 線形性を持つ集合や写像の性質を調べる。 | ||
| 微分積分 | 〇 | 関数の局所的な挙動を解析する。 | ||
| 数理統計 | 〇 | データから有益な情報を引き出す。 | ||
| 集合 | 〇 | ものの集まりとその関係性を形式的に扱う。 | ||
| 位相空間 | 〇 | 抽象的な近さや連続性の概念を扱う。 | ||
| ルベーグ積分 | 〇 | 長さ、面積、体積の性質を取り出したもの。 | ||
| 確率論 | 〇 | 確率を長さの一種として捉え直したもの。 | ||
| 確率微分方程式 | 〇 | 離散的確率的動きから連続的確率的動きを分析する。 | ||
| 経験過程 | ||||
| Gradient Flow | ||||
| 最適輸送理論 | ||||
| 流体力学極限 | ||||
| マリアヴァン解析 | ||||
| エルゴード理論 | ||||
| 関数解析 | 〇 | 無限次元空間上の線形代数である。 | ||
| 再生核ヒルベルト空間 | 〇 | $\langle f,k(\cdot,x)\rangle=f(x)$となる空間を調べる。 | ||
| 凸解析 | 〇 | 最適化理論や経済学で重要な役割を果たす。 | ||
| 離散凸解析 | ||||
| 最適化理論 | 〇 | 既知の因果関係や規則に対し最適解を得る。 | ||
| 不動点近似 | 〇 | 非線形写像の不動点の存在やその近似法。 | ||
| 偏微分方程式 | 〇 | 偏微分方程式を作用素とみなして弱解の存在と一意性を論じる | ||
| 作用素環論 | ||||
| 群上の調和解析 | ||||
| 曲線と曲面 | 〇 | 曲線と曲面の性質を調べる。 | ||
| 多様体 | 〇 | 曲線と曲面の性質から曲がった空間を調べる。 | ||
| 微分幾何 | 〇 | 空間や図形の性質を微分法で調べる。 | ||
| 情報幾何 | 〇 | 計測・制御・情報を統一的に扱う言語。 | ||
| モース理論 | ||||
| ゲージ理論 | ||||
| 位相幾何学 | 〇 | 図形の伸縮や変形に対する性質を扱う。 | ||
| 群 | 〇 | ひとつの演算の性質について調べる。 | ||
| 環 | 〇 | ふたつの演算の性質について調べる。 | ||
| 加群 | 〇 | 抽象化ベクトル空間の性質について調べる。 | ||
| 体 | 〇 | 多項式$f(x)=0$の性質について調べる | ||
| 可換環論 | ||||
| ホモロジー代数 | ||||
| 圏論 | ||||
| 層 | ||||
| 代数幾何 | ||||
| グレブナー基底 | ||||
| 離散群 | ||||
| 特異学習理論 | ||||
| リー代数 |
計算機科学で浸透している基礎数学があるようです。こちらも学習していこうと思います。
（〇は学習済み、△は途中、★は勉強中を示す）
| 項目 | 入門 | 基礎 | 詳細 | ひとことでいうと？ |
|---|---|---|---|---|
| 離散数学 | ||||
| グラフ理論 | ||||
| 束論 |
応用数学
業務で使用する応用数学について焦点をあてて勉強することにします。計測・制御・情報では下記の項目が対象となります。入門レベルは一通り扱ったことはありますが、深い理解までは至っておりません。これは基礎数学の鍛錬が少ないので深い理解が出来ていないからです。一旦、基礎数学の理解を深めてから勉強を開始しようと思います。
（〇は学習済み、△は途中、★は勉強中を示す）
| 項目 | 入門 | 基礎 | 詳細 | ひとことでいうと？ |
|---|---|---|---|---|
| 漸近理論 | 〇 | |||
| モンテカルロ法 | ★ | |||
| 統計的学習理論 | ||||
| リグレット解析 | 〇 | |||
| 連続最適化 | ||||
| 離散最適化 | ||||
| 劣モジュラ最適化 | 〇 | |||
| 多様体上の最適化理論 | ||||
| オンライン学習 | 〇 | |||
| 確率的最適化 | ||||
| バンディット問題 | 〇 | |||
| 強化学習 | 〇 | |||
| アルゴリズム的ゲーム理論 | ||||
| GAN | △ | |||
| 拡散モデル | △ | |||
| Flow Matching | △ |
入門的なアルゴリズムは習得したつもりでいる。
（〇は学習済み、△は途中、★は勉強中を示す）
| 項目 | 入門 | 基礎 | 詳細 | ひとことでいうと？ |
|---|---|---|---|---|
| 信号処理 | 〇 | |||
| 深層学習 | 〇 | |||
| 計測工学 | 〇 | |||
| 制御工学 | 〇 | |||
| 機械学習 | 〇 | |||
| 金融工学 | 〇 |
物理
数学と物理は相互に影響しあいながら発展しています。
ソフトウェアエンジニアでも知らないといけない分野を列挙します。
（〇は学習済み、△は途中、★は勉強中を示す）
| 項目 | 入門 | 基礎 | 詳細 | ひとことでいうと？ |
|---|---|---|---|---|
| 力学 | ||||
| 解析力学 | ||||
| 連続体の力学 | ||||
| 電磁気学 | ||||
| 熱力学 | ||||
| 統計力学 | ||||
| 量子力学 | ||||
| 流体力学 | ||||
| 特殊相対性理論 | ||||
| 一般相対性理論 | ||||
| 非平衡統計力学 | ||||
| 場の量子論 | ||||
| ファインマン経路積分 | ||||
| 量子電磁気学 | ||||
| 量子色力学 | ||||
| 電弱理論 | ||||
| 弦理論 |
経済
計測・制御・情報のアルゴリズムは、最終的に意思決定を下すために用いられます。数理経済学では、意思決定に関して学問として扱われており、密接に関連しています。
（〇は学習済み、△は途中、★は勉強中を示す）
| 項目 | 入門 | 基礎 | 詳細 | ひとことでいうと？ |
|---|---|---|---|---|
| 意思決定理論 | 〇 | |||
| ゲーム理論 | △ | |||
| マッチング理論 | △ | |||
| 社会選択理論 | ||||
| オークション理論 |
情報
業務で支障がない程度には入門レベルは触りました。しかし、ソフトウェア開発は誰かの支援がないと出来ない状態です。技術書を買うなどして補完する必要があります。
（〇は学習済み、△は途中、★は勉強中を示す）
| 項目 | 入門 | 基礎 | 詳細 | ひとことでいうと？ |
|---|---|---|---|---|
| プログラミング | 〇 | |||
| WEB | 〇 | |||
| ネットワーク | 〇 | |||
| データーベース | 〇 | |||
| Linux | 〇 | |||
| クラウド | 〇 | |||
| コンピュータアーキテクチャ | 〇 | |||
| ソフトウェア開発 | △ | |||
| プロジェクトマネジメント | △ | |||
| 量子コンピュータ | ||||
| 量子インターネット |
おわりに
ひとつの分野に固執せず、横断的に学問を見渡し、必要に応じて適切に学問を深堀りできるようになりたいです。楽しく数理工学について話せるコミュニティを作りました。よかったらご連絡ください。