今回は、Implicit Differentiation （陰関数積分）について、考察していきたいと思います！

Implicit Function（陰関数）

まず、Implicit Function（陰関数）についてや。

陰関数とは、Explicit Function（陽関数）の様に、明示的に $y=f(x)$ という形で表されていない関数のことや。例えば、 $F(x,y)=0$ という形で表される関数のことを陰関数と言うんや。ここで、 $F$ は $x$ と $y$ の両方に依存する関数やけど、 $y$ を直接的に $x$ の関数として表すことはできへん。

例：

例えば、円の方程式 $x^2+y^2−r^2=0$ は陰関数の一例や。この方程式は $x$と $y$ の関係を示してるけど、 $y$ を $x$ の明示的な関数として表してへん。

陰関数定理 (Implicit Function Theorem)：

陰関数定理は、ある条件のもとで陰関数を明示的な関数として表現できることを保証する定理や。

陰関数定理の内容：

まず、 $F(x,y)=0$ がある点 $(a, b)$ で定義されていて、 $F(a,b)=0$ であるとする。

$F(x,y)=0$

$(a, b)$

$F(a,b)=0$
また、 F が $(a, b)$ の近傍で連続的に微分可能であり、$\frac{\partial F}{\partial y}(a, b) \not= 0$ であるとする。

$F$

$(a, b)$

$\frac{\partial F}{\partial y}(a, b) \not= 0$

このとき、$(a, b)$ の近傍で $y$ を $x$ の関数として表す $y=g(x)$ が存在して、 $g(a)=b$ かつ $F(x,g(x))=0$ が成り立つんや。

具体例：

先ほどの円の方程式を使ってみるとな、
$x^2+y^2−r^2=0$
この方程式を $y$ について解くと、
$y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$
これは円の上半分と下半分のそれぞれを表しているんや。

実用例：

陰関数はグラフの形状を分析したり、最適化問題の制約条件を定義するのに使われることが多いで。また、物理や工学の多くの問題でも利用されるんや。

Implicit Differentiation（陰関数積分）

陰関数微分（Implicit Differentiation）について詳しく説明するな。これは、 $x$ を $y$ の明示的な関数として表せない場合でも、微分を使って $x$ と $y$ に関する変化率（微分係数）を求める方法や。

基本的な考え方

陰関数微分の基本的なアイデアは、関数 $F(x,y)=0$ の両辺を $x$ について微分することや。この過程で、 $y$ は $x$ の関数として扱われるから、 $y$ を微分する際には連鎖律（Chain Rule）を使うんや。

手順

具体的な手順をステップバイステップで説明するで。

関数の設定：
関数 $F(x,y)=0$ が与えられているとする。ここで、 $y$ は $x$ の関数 $y=g(x)$ として暗黙的に定義されているんや。
両辺を $x$ について微分：
関数 $F(x,y)=0$ の両辺を $x$ について微分する。

$$
\frac{d}{dx}[F(x, y)]=\frac{d}{dx}[0]
$$
連鎖律を適用：
連鎖律を適用して $y$ の微分を含む形に展開する。ここで $y$ は $x$ の関数と見なされるため、 $\frac{dy}{dx}$ を含む項が現れる。

$$
\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx} =0
$$
求めたい微分を解く：
得られた方程式を $\frac{dy}{dx}$ について解くことで、 $y$ の $x$ に関する変化率を求める。

具体例

実際の例を使って説明するわ。

例：円の方程式

円の方程式
$x^2+y^2=r^2$ を考える。この方程式に対して $\frac{dy}{dx}$ を求めるで。

関数の設定：

$$
F(x, y) = x^2+y^2−r^2=0
$$
両辺を xxx について微分：

$$
\frac{d}{dx}[ x^2+y^2−r^2]=\frac{d}{dx}[0]
$$
連鎖律を適用：

$$
\frac{\partial}{\partial x}[ x^2]+\frac{\partial}{\partial x}[y^2]−\frac{\partial}{\partial x}[r^2]=\frac{\partial}{\partial x}[0]
$$

$$
2x+2y\frac{dy}{dx}=0
$$
求めたい微分を解く：

$$
2x+2y\frac{dy}{dx}=0
$$

$$
2y\frac{dy}{dx}=-2x
$$

$$
\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}
$$

まとめ

陰関数微分は、関数が明示的に表されていない場合でも、微分を通じて変数間の関係を解析する強力な方法や。連鎖律を適用することで、明示的に $y=g(x)$と表せなくても、 $y$ の $x$ に関する微分を求めることができるんや。

こちらが、今回参考にした動画（学校の授業以外で）です。ウチのまとめよりも、こっちの方が分かり易いと思うで。このチャンネルの日本語訳も、大学生の人たちが作ってると思うで。

https://youtu.be/qb40J4N1fa4